Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:
A=[ccc0 & 0 & 2 0 & -1 & 0 2 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 0 & 0 & 2 0 & -1 & 0 2 & 0 & 0
O conteúdo é autovalores e autovetores de matriz, e vamos usar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e depois resolver os sistemas (A - lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos montar o determinante de A - lambda I:
A - lambda I = -lambda & 0 & 2 0 & -1 - lambda & 0 2 & 0 & -lambda
Expansão pela segunda linha dá
det(A - lambda I) =(-1-lambda),det-lambda & 22 & -lambda =-(lambda+1)(lambda^2-4)

Passo 3

Anulando o polinômio característico
-(lambda+1)(lambda^2-4)=0
temos lambda+1=0 ou lambda^2-4=0, isto é
lambda = -1, lambda = 2, lambda = -2

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja
Da segunda equação vem . Da primeira ou da terceira obtemos . Logo um autovetor é

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
Da segunda equação vem . Da primeira ou terceira obtemos . Logo um autovetor é

Passo 6

Para , resolvemos , ou seja
Da segunda linha não vem condição. Da primeira e da terceira . Somando duas vezes a primeira com a terceira dá e então . O único grau de liberdade é , logo um autovetor é

Resposta

Os autovalores são
lambda1=2, lambda2=-2, lambda3=-1,
com autovetores (não normalizados) correspondentes
v2 = 101, v-2 = 10-1, v-1 = 010

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