Seja T: U longrightarrow V, uma transformação linear entre espaços de dimensão finita. Mostre que:
dim(U)=dim(V), então T é injetiva se, e somente, se T for sobrejetiva;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear T: U longrightarrow V entre dois espaços vetoriais de dimensão finita, onde dim(U) = dim(V) . O que a gente precisa mostrar é que, sob essa condição, T é injetora se e somente se for sobrejetora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, como injetividade, sobrejetividade e a relação entre dimensões dos espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação T é injetora se, sempre que T(u1) = T(u2) , então u1 = u2 . Isso basicamente quer dizer que não existem dois vetores diferentes em U que mapeiam para o mesmo vetor em V .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa ser sobrejetora. Uma transformação T é sobrejetora se para todo vetor v em V , existe pelo menos um vetor u em U tal que T(u) = v . Ou seja, T “cobre” todo o espaço V .

Passo 4

Como dim(U) = dim(V) , sabemos que ambos os espaços têm a mesma dimensão, digamos n . Uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão tem uma propriedade especial: ela é injetora se e somente se é sobrejetora. Vamos provar isso.

Passo 5

Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da dimensão), que diz:
dim(U) = dim(ker(T)) + dim(Im(T))
Aqui, ker(T) é o núcleo de T (conjunto dos vetores que são mapeados para o vetor zero) e Im(T) é a imagem de T (conjunto de todos os vetores em V que são alcançados por T ).

Passo 6

Como dim(U) = dim(V) = n , e queremos mostrar que T ser injetora implica ser sobrejetora, vamos começar assumindo que T é injetora. Se T é injetora, então ker(T) = 0 , ou seja, a dimensão do núcleo é zero:
dim(ker(T)) = 0
Aplicando o teorema:
n = 0 + dim(Im(T)) implies dim(Im(T)) = n
Como a imagem de T tem dimensão n e V também tem dimensão n , a imagem de T é exatamente V . Portanto, T é sobrejetora.

Passo 7

Agora, vamos fazer o caminho inverso: assumir que T é sobrejetora e mostrar que T é injetora. Se T é sobrejetora, então Im(T) = V , e portanto:
dim(Im(T)) = n
Aplicando o teorema novamente:
n = dim(ker(T)) + n
Isso só é possível se dim(ker(T)) = 0 , ou seja, ker(T) = 0 . Portanto, T é injetora.

Resposta

Concluímos que, quando dim(U) = dim(V) , a transformação linear T é injetora se e somente se for sobrejetora.

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