Seja
, uma transformação linear entre espaços de dimensão finita. Mostre que:
, então T é injetiva se, e somente, se T for sobrejetiva;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear
entre dois espaços vetoriais de dimensão finita, onde
. O que a gente precisa mostrar é que, sob essa condição,
é injetora se e somente se for sobrejetora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, como injetividade, sobrejetividade e a relação entre dimensões dos espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação
é injetora se, sempre que
, então
. Isso basicamente quer dizer que não existem dois vetores diferentes em
que mapeiam para o mesmo vetor em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa ser sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se para todo vetor
em
, existe pelo menos um vetor
em
tal que
. Ou seja,
“cobre” todo o espaço
.
Passo 4
Como
, sabemos que ambos os espaços têm a mesma dimensão, digamos
. Uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão tem uma propriedade especial: ela é injetora se e somente se é sobrejetora. Vamos provar isso.
Passo 5
Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da dimensão), que diz:
Aqui,
é o núcleo de
(conjunto dos vetores que são mapeados para o vetor zero) e
é a imagem de
(conjunto de todos os vetores em
que são alcançados por
).
Passo 6
Como
, e queremos mostrar que
ser injetora implica ser sobrejetora, vamos começar assumindo que
é injetora. Se
é injetora, então
, ou seja, a dimensão do núcleo é zero:
Aplicando o teorema:
Como a imagem de
tem dimensão
e
também tem dimensão
, a imagem de
é exatamente
. Portanto,
é sobrejetora.
Passo 7
Agora, vamos fazer o caminho inverso: assumir que
é sobrejetora e mostrar que
é injetora. Se
é sobrejetora, então
, e portanto:
Aplicando o teorema novamente:
Isso só é possível se
, ou seja,
. Portanto,
é injetora.
Resposta
Concluímos que, quando
, a transformação linear
é injetora se e somente se for sobrejetora.