Seja uma matriz . Assinale a alternativa FALSA:
(a) A pode não possuir autovetores
(b) Se então os autovalores de podem ser 0 e 2
(c) A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a matriz identidade
(d) Se então 0 é autovalor
Passo 1
O enunciado pede para identificar, entre quatro afirmações sobre autovalores e autovetores de uma matriz , qual é falsa. Vamos usar fatos clássicos de álgebra linear:
A existência de autovetores reais depende de os autovalores serem reais.
Para uma matriz , .
implica que é autovalor.
É possível ter múltiplo autovalor único sem ser a identidade (forma de Jordan).
Passo 2
Analisando (a): “A pode não possuir autovetores.”
Se os autovalores são complexos não reais, não há autovetores reais. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): “Se então os autovalores de podem ser e .”
Nesse caso teríamos
o que contradiz . Portanto essa afirmação é impossível, ou seja, é falsa.
Passo 4
Analisando (c): “A pode ter apenas o autovalor e não ser a matriz identidade.”
Basta pensar em um bloco de Jordan
que tem único autovalor 1 mas não é I. Então (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d): “Se det A=0 então 0 é autovalor.”
Isto é exatamente a definição de matriz singular, logo (d) é verdadeira.