Seja A uma matriz 2 times 2. Assinale a alternativa FALSA:
(a) A pode não possuir autovetores
(b) Se det A<0 então os autovalores de A podem ser 0 e 2
(c) A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a matriz identidade
(d) Se det A=0 então 0 é autovalor

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre quatro afirmações sobre autovalores e autovetores de uma matriz 2times2, qual é falsa. Vamos usar fatos clássicos de álgebra linear:
  • A existência de autovetores reais depende de os autovalores serem reais.
  • Para uma matriz 2times2, det A=lambda1lambda2.
  • det A=0 implica que 0 é autovalor.
  • É possível ter múltiplo autovalor único sem ser a identidade (forma de Jordan).

Passo 2

Analisando (a): “A pode não possuir autovetores.”
Se os autovalores são complexos não reais, não há autovetores reais. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): “Se det A<0 então os autovalores de A podem ser 0 e 2.”
Nesse caso teríamos
det A=lambda1lambda2=0cdot2=0,
o que contradiz det A<0. Portanto essa afirmação é impossível, ou seja, é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a matriz identidade.”
Basta pensar em um bloco de Jordan
1 & 1 0 & 1 ,
que tem único autovalor 1 mas não é I. Então (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d): “Se det A=0 então 0 é autovalor.”
Isto é exatamente a definição de matriz singular, logo (d) é verdadeira.

Resposta

(b)

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