Calcular os autovalores e todos os autoespaços, das seguintes matrizes:
A=(ccc1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2) sobre R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores (eigenvalues) e os autoespaços (eigenspaces) da matriz
A = 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2
sobre R. Vamos usar o procedimento padrão: (i) formar o polinômio característico det(A-lambda I), (ii) encontrar suas raízes (autovalores) e (iii) para cada lambda resolver (A-lambda I)x=0 para obter o autoespaço correspondente.

Passo 2

Escrevemos
A - lambda I = 1-lambda & -1 & 0 1 & 1-lambda& 2 1 & 1 & 2-lambda
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A-lambda I) = (1-lambda)det!1-lambda&21&2-lambda -(-1)det!1&21&2-lambda
Agora,
det!1-lambda&21&2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-2 =lambda^2-3lambda,
det!1&21&2-lambda =1cdot(2-lambda)-2 =-lambda
Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-3lambda)-(-1)(-lambda) =(1-lambda)lambda(lambda-3)-lambda

Passo 3

Continuando a fatoração:
(1-lambda)lambda(lambda-3)-lambda =lambdal((1-lambda)(lambda-3)-1r) =lambda(-lambda^2+4lambda-4) =lambda(lambda^2-4lambda+4) =lambda(lambda-2)^2
Portanto os autovalores são
lambda1=0 (multiplicidade algébrica 1) e
lambda2=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Autoespaço para
isto é
Da primeira equação , ou seja .
Definindo , obtemos
Logo

Passo 5

Autoespaço para
onde
O sistema é
Da primeira equação , temos e . Assim
Portanto

Resposta

Autovalores e autoespaços de A:
lambda1=0,
E0=span(-1,-1,1)
lambda2=2 (multiplicidade 2),
E2=span(-1,1,1)

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