Encontre uma base ortonormal para o espaço vetorial formado pela combinação linear dos dois vetores abaixo:
Mostre os cálculos necessários para que se chege à resposta correta.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=2-12, v2=-2-43
Para isso vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt: primeiro normalizamos v1 para obter e1; depois projetamos v2 em e1, subtraímos essa projeção de v2 para obter um vetor ortogonal a e1, e finalmente normalizamos esse segundo vetor para obter e2.
Passo 2
Normalizamos v1.
|v1|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=raiz4+1+4=3,
logo
e1=v1|v1| =132-12
Passo 3
Projetamos v2 sobre e1 e subtraímos para obter u2.
Primeiro o produto interno:
v2cdot e1 =-2-43cdot132-12 =13(-4+4+6)=2
A projeção é 2,e1, então
u2 = v2 - 2,e1 =-2-43 -2cdot132-12 =-2-tfrac43-4+tfrac233-tfrac43 =13-10-105