Encontre uma base ortonormal para o espaço vetorial formado pela combinação linear dos dois vetores abaixo:
v1=[r 2 -1 2 ] ; v2=[r -2 -4 3 ]
Mostre os cálculos necessários para que se chege à resposta correta.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=2-12, v2=-2-43
Para isso vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt: primeiro normalizamos v1 para obter e1; depois projetamos v2 em e1, subtraímos essa projeção de v2 para obter um vetor ortogonal a e1, e finalmente normalizamos esse segundo vetor para obter e2.

Passo 2

Normalizamos v1.
|v1|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=raiz4+1+4=3,
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e1=v1|v1| =132-12

Passo 3

Projetamos v2 sobre e1 e subtraímos para obter u2.
Primeiro o produto interno:
v2cdot e1 =-2-43cdot132-12 =13(-4+4+6)=2
A projeção é 2,e1, então
u2 = v2 - 2,e1 =-2-43 -2cdot132-12 =-2-tfrac43-4+tfrac233-tfrac43 =13-10-105

Passo 4

Normalizamos u2.
|u2| =13raiz(-10)^2+(-10)^2+5^2 =13raiz100+100+25 =153=5
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e2 = u2|u2| =tfrac13-10-1055 =13-2-21

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado por v1,v2 é
l 132-12, ;, 13-2-21 r

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