Seja a matriz A=Q R, com A e Q dados abaixo. Temos que Q e R são dados pela chamdada fatoração QR .
Resolva a equação A x=y por mínimos quadrados, onde y também é dado abaixo, utilizando a matriz R .
A=[rr 2 & 2 -4 & -5 1 & 2 -2 & -2 ] Q=125[rr 10 & -10 -20 & -5 5 & 20 -10 & 10 ] ; y=[r 3 -4 -3 2 ]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz AinR^4times2 e a matriz ortonormal parcial QinR^4times2 de sua fatoração QR, além do vetor yinR^4, e pede a solução de mínimos quadrados de
A x = y
Como Q tem colunas ortonormais ( Q^TQ=I), a solução de mínimos quadrados é
x = R^-1Q^T y,
onde
R = Q^T A
é triangular superior.

Passo 2

Calcular
R = Q^T A
Escrevendo
Q = 125 10 & -10 -20 & -5 5 & 20 -10 & 10 , A = 2 & 2 -4 & -5 1 & 2 -2 & -2 ,
temos
R = 125 10 & -20 & 5 & -10 -10 & -5 & 20 & 10 2 & 2 -4 & -5 1 & 2 -2 & -2 = 5 & 6 0 & 1

Passo 3

Calcular o produto
Q^T y
Com
y = 3-4-32,
obtém-se
Q^T y = 125 10 & -20 & 5 & -10 -10 & -5 & 20 & 10 3-4-32 = 3-2

Passo 4

Resolver o sistema triangular superior
Da segunda linha vem . Substituindo na primeira,

Resposta

x = 3-2

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