Calcular os autovalores e todos os autoespaços, das seguintes matrizes:
A=(ccc1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2) sobre C.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores de
A = 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2
sobre C e, para cada autovalor lambda, determinar o autoespaço ker(A - lambda I). O conteúdo usado será o cálculo do polinômio característico e a resolução do sistema (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Para obter o polinômio característico montamos
det(A - lambda I) = det 1-lambda & -1 & 0 1 & 1-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda
Expandindo pela primeira linha,
det(A-lambda I) = (1-lambda)l[(1-lambda)(2-lambda)-2cdot1r] -(-1)l[1cdot(2-lambda)-2cdot1r]
Calculando as expressões internas e fatorando, obtém-se
det(A-lambda I) = -lambda(lambda-2)^2
Logo os autovalores são
lambda=0 (multiplicidade algébrica 1) e lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para
isto é o sistema
Da primeira equação . Logo . Tomando ,
e o autoespaço é

Passo 4

Para
Isso gera o sistema
Da primeira e da terceira vem . Tomando ,
e o autoespaço é

Resposta

Os autovalores e autoespaços de A são:
lambda1=0, E0=span(-1,-1,1)
lambda2=2, E2=span(-1,1,1)

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