Dada a matriz
A=[llll 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 ]
A é diagonalizável (use a definição do exercício anterior).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3
e pede para verificar se A é diagonalizável. Vamos usar a definição que diz que A é diagonalizável se existir uma base de R^4 (ou C^4) formada por autovetores de A. Isso equivale a exigir que, para cada valor próprio lambda, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) seja igual à sua multiplicidade algébrica, e que a soma dessas dimensões seja 4.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo:
lambda1 = 2, mu<iplicidade algébrica ma(2)=3, lambda2 = 3, ma(3)=1 é

Passo 3

Calcular o espaço próprio de lambda=2. Temos
A-2I = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
A equação (A-2I)x=0 dá os sistemas
x2 = 0, x4 = 0,
sem restrição em x1 e x3. Logo os vetores próprios têm forma
(x1,0,x3,0) = x1(1,0,0,0) + x3(0,0,1,0),
de modo que a multiplicidade geométrica de lambda=2 é
mg(2)=2

Passo 4

Calcular o espaço próprio de lambda=3. Temos
A-3I = -1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Daí as equações
-x1 + x2 = 0, -x2=0, -x3=0,
implicam x2=0, x1=0, x3=0, sem restrição em x4. Logo os autovetores são múltiplos de (0,0,0,1) e
mg(3)=1

Passo 5

Somando as multiplicidades geométricas obtidas:
mg(2) + mg(3) = 2 + 1 = 3 < 4
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é menor que 4, não podemos formar uma base de R^4 só com autovetores de A. Portanto, A não é diagonalizável.

Resposta

A não é diagonalizável.

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