Calcular o lim x^2-3 x+2x^3-4 x, quando:
a) x 2^+
b) x -2^+
c) x 0^+
d) x 1^+
e) x 0^-
f) Podemos dizer algo sobre o limite quando x 0 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo de limites, que é uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite da função:
lim x^2 - 3x + 2x^3 - 4x
em diferentes pontos específicos de x. Para isso, vamos precisar entender como manipular frações algébricas, fatorar polinômios e analisar o comportamento da função perto dos pontos que estamos interessados. Vamos lá!

Passo 2

a) limx 2^+ x^2 - 3x + 2x^3 - 4x
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
  • Numerador: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
  • Denominador: x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)
Agora, a expressão fica:
(x - 1)(x - 2)x(x - 2)(x + 2) = x - 1x(x + 2) (cancelando o fator (x - 2))
Agora, substituímos x por 2:
2 - 12(2 + 2) = 12 times 4 = 18

Passo 3

b) limx -2^+ x^2 - 3x + 2x^3 - 4x
Usando a mesma expressão simplificada:
x - 1x(x + 2)
Vamos substituir x por -2:
-2 - 1-2(-2 + 2) = -3-2 times 0
Aqui, o denominador tende a zero, e o sinal da função depende de como x se aproxima de -2 pela direita. Como x + 2 está se aproximando de zero pelo lado positivo, o denominador é positivo e muito próximo de zero, então o limite tende a -infty.

Passo 4

c) limx 0^+ x^2 - 3x + 2x^3 - 4x
Usando a expressão simplificada:
x - 1x(x + 2)
Substituindo x por 0 pela direita:
0 - 10 (0 + 2) = -10^+ = -infty
Quando o denominador tende a zero positivo e o numerador é negativo, o limite vai para menos infinito.

Passo 5

d) limx 1^+ x^2 - 3x + 2x^3 - 4x
Fatorando como antes:
x - 1x(x + 2)
Substituindo x por 1 pela direita:
1 - 11 (1 + 2) = 03 = 0

Passo 6

e) limx 0^- x^2 - 3x + 2x^3 - 4x
Usando a expressão simplificada:
x - 1x(x + 2)
Substituindo x por 0 pela esquerda:
0 - 10^- (0 + 2) = -10^- times 2 = -10^- = +infty
Quando o denominador tende a zero negativo e o numerador é negativo, o limite vai para mais infinito.

Passo 7

f) Podemos dizer algo sobre o limite quando x 0? Justifique.
Sim, podemos analisar os limites laterais:
  • Quando x 0^+, o limite é -infty.
  • Quando x 0^-, o limite é +infty.
Como os limites pelas duas direções são diferentes (não são iguais nem ambos infinitos com o mesmo sinal), o limite geral quando x 0 não existe.

Resposta

a) 18
b) -infty
c) -infty
d) 0
e) +infty
f) O limite quando x 0 não existe, pois os limites laterais são diferentes.

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