Calcular o
, quando:
a)
b)
c)
d)
e)
f) Podemos dizer algo sobre o limite quando
? Justifique.
a)
b)
c)
d)
e)
f) Podemos dizer algo sobre o limite quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo de limites, que é uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite da função:
em diferentes pontos específicos de
. Para isso, vamos precisar entender como manipular frações algébricas, fatorar polinômios e analisar o comportamento da função perto dos pontos que estamos interessados. Vamos lá!
Passo 2
a)
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
- Numerador:
- Denominador:
Agora, a expressão fica:
Agora, substituímos
por 2:
Passo 3
b)
Usando a mesma expressão simplificada:
Vamos substituir
por
:
Aqui, o denominador tende a zero, e o sinal da função depende de como
se aproxima de
pela direita. Como
está se aproximando de zero pelo lado positivo, o denominador é positivo e muito próximo de zero, então o limite tende a
.
Passo 4
c)
Usando a expressão simplificada:
Substituindo
por 0 pela direita:
Quando o denominador tende a zero positivo e o numerador é negativo, o limite vai para menos infinito.
Passo 5
d)
Fatorando como antes:
Substituindo
por 1 pela direita:
Passo 6
e)
Usando a expressão simplificada:
Substituindo
por 0 pela esquerda:
Quando o denominador tende a zero negativo e o numerador é negativo, o limite vai para mais infinito.
Passo 7
f) Podemos dizer algo sobre o limite quando
? Justifique.
Sim, podemos analisar os limites laterais:
- Quando
, o limite é . - Quando
, o limite é .
Como os limites pelas duas direções são diferentes (não são iguais nem ambos infinitos com o mesmo sinal), o limite geral quando
não existe.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f) O limite quando
não existe, pois os limites laterais são diferentes.