Exercício 2.10.5 Determine os intervalos onde cada função composta f circ g seja contínua.
f(x)=raizx e g(x)=16-x^2;

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=raizx definida em [0,infty) e contínua aí,
e g(x)=16 - x^2 definida e contínua em R.
Pede-se os intervalos onde a composta
(fcirc g)(x) = raiz,g(x), = raiz16 - x^2
é contínua.

Passo 2

Para que (fcirc g)(x) esteja bem definida, precisamos ter
g(x)>= 0,
pois raizcdot só aceita argumentos em [0,infty).
Resolvendo
16 - x^2 >= 0 Long<=ftrightarrow x^2 <= 16 Long<=ftrightarrow -4 <= x <= 4
Logo a função composta existe apenas em [-4,4].

Passo 3

Sabemos que g é contínua em todo R e que f é contínua em [0,infty).
O teorema da composição garante que fcirc g é contínua em todo ponto x onde g(x) pertence ao intervalo de continuidade de f.

Passo 4

Como g(x)in[0,infty) exatamente quando xin[-4,4], concluímos que
(fcirc g)(x) é contínua para todo xin[-4,4].

Resposta

A função (fcirc g)(x)=raiz16-x^2 é contínua em
[-4,4]

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