Resolva as seguintes inequações:
x^2-2 x >= 0

Passo 1

Aqui a tarefa é resolver a inequação x^2 - 2x >= 0. O conteúdo envolvido é inequação do segundo grau e vamos precisar fatorar o polinômio e fazer o estudo de sinais do produto resultante.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever a expressão e fatorar o polinômio. Observamos que
x^2 - 2x = x(x - 2)
então a inequação vira x(x - 2) >= 0.

Passo 3

Agora identificamos as raízes do produto para dividir a reta real em intervalos. As raízes são x=0 e x=2. Isso nos dá três intervalos para testar o sinal de x(x-2):
  • Intervalo (-infty, 0)
  • Intervalo (0, 2)
  • Intervalo (2, +infty)

Passo 4

Como o produto de dois fatores é não negativo quando ambos têm o mesmo sinal, fazemos o seguinte teste rápido:
  • Para x<0, temos x<0 e x-2<0, ou seja, produto positivo.
  • Para 0<x<2, temos x>0 mas x-2<0, produto negativo.
  • Para x>2, temos x>0 e x-2>0, produto positivo.

Passo 5

Juntando tudo e lembrando que a inequação é >= 0, incluímos também os pontos onde o produto é zero (raízes). Assim, a solução é x<= 0 ou x>= 2.

Resposta

x <= 0 ou x >= 2

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