Exercício 5 (5 pontos). Este exercício é um bônus. Ele visa desenvolver as habilidades dos alunos para tratar de problemas matemáticos.
O objetivo deste exercício é demonstrar o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema 3.1.1 das notas de aula) a partir do Teorema de Picard (Teorema 3.1.2).
Você deve demonstrar que: dado o PVI,
y^prime=f(x, y) , sujeito a
y(x0)=y0 e considerando uma região retangular no plano
x y que contém o ponto
(x0, y0) em seu interior, no qual as funções
f(x, y) e
partial fpartial y são contínuas. Nessas condições, mostre que existe um intervalo
I centrado em
x0 e uma única função
y(x) definida em I que satisfaz o PVI dado.
Você pode usar o seguinte (Teorema de Picard): Seja
f: R R uma função definida no retângulo
R=(x, y):|x-a| <= h,|y-b| <= k que satisfaz as seguintes condições:
fé contínua em
R com
f(x, y) <= M para todo
(x, y) in R e
M h <= k .
existe uma constante
L tal que para todo
x in[a-h, a+h] temos que
|f(x, y1)-f(x, y2)| <=
L|y1-y2| para todo par
y1, y2 in[b-k, b+k] (chamada de condição de Lipschitz).
Nessas condições o PVI:
y^prime=f(x, y) com
y(a)=b tem uma solução única y no intervalo
[a-h, a+h] .
Dica 1: Se queremos mostrar que
A implica
C e sabemos que
B implica
C , é suficiente demonstrar que
A implica
B .
Dica 2: Lembre-se do Teorema do Valor Médio dos cursos de cálculo: dada uma função contínua
g em um intervalo fechado
[a, b] e diferenciável no intervalo aberto (
a, b ), existe um
c tal que
a<c<b e
g(b)-g(a)=g^prime(c)(b-a) .
Dica 3: Use também o Teorema de Weierstrass: Toda função contínua g em um intervalo fechado
[a, b] é limitada, ie., para todo
x em
[a, b] temos que existem
ell, L reais tais que
ell <=
g(x) <= L . O mesmo vale se a função
g for de duas variáveis contínua em um retângulo
[a, b] times[c, d] .
Dica 4: Veja o uso do Teorema do Valor Médio no Exemplo 3.1.3 das notas de aula. Você consegue ver como pode usar as dicas dadas para mostrar que a condição de Lipschitz vale quando
partial fpartial y é contínua?