e pergunta se é possível escolher a,b\in\mathbb R de modo que f seja derivável em todo \mathbb R. Para isso precisamos checar continuidade e derivabilidade nos pontos de “colagem” x=-1 e x=1.
Passo 2
Condição de continuidade e derivabilidade em x=-1\).
1. Continuidade em \(x=-1\):
\[\lim_{x\to-1^-}f(x)=a(-1)+\frac1{-1}=-a-1, \qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=(-1)^{2}+b(-1)=1-b.
Em (x=-1]: \lim_{x\to-1^-}f'(x)=a-1, \qquad \lim_{x\to-1^+}f'(x)=-2+b.
Igualando as derivadas: a-1=-2+b \quad\Longrightarrow\quad a-1=-2+(a+2) \quad\Longrightarrow\quad a-1=a \quad\Longrightarrow\quad -1=0,
que é impossível.
Passo 3
Para ser completo, note que em x=1 também daria contradição: