É possível determinar a, b \in \mathbb{R} de forma a ter a função a seguir derivável em \mathbb{R} ?
f(x)= \begin{cases}a x+\frac{1}{x} & \text { se } x \leq-1 \\ x^{2}+b x & \text { se }-1<x \leq 1 \\ \log \left(x^{2}\right) & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} a\,x+\frac{1}{x},&x\le -1,\\\ x^{2}+b\,x,&-1<x\le1,\\\ \log\bigl(x^{2}\bigr),&x>1, \end{cases}
e pergunta se é possível escolher a,b\in\mathbb R de modo que f seja derivável em todo \mathbb R. Para isso precisamos checar continuidade e derivabilidade nos pontos de “colagem” x=-1 e x=1.

Passo 2

Condição de continuidade e derivabilidade em x=-1\). 1. Continuidade em \(x=-1\): \[\lim_{x\to-1^-}f(x)=a(-1)+\frac1{-1}=-a-1, \qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=(-1)^{2}+b(-1)=1-b.
Igualando para continuidade:
-a-1=1-b \quad\Longrightarrow\quad b=a+2.
  1. Derivabilidade em x=-1:
f'(x)= \begin{cases} a-\dfrac1{x^{2}},&x<-1,\\\\ 2x+b,&x>-1. \end{cases}
Em (x=-1]:
\lim_{x\to-1^-}f'(x)=a-1, \qquad \lim_{x\to-1^+}f'(x)=-2+b.
Igualando as derivadas:
a-1=-2+b \quad\Longrightarrow\quad a-1=-2+(a+2) \quad\Longrightarrow\quad a-1=a \quad\Longrightarrow\quad -1=0,
que é impossível.

Passo 3

Para ser completo, note que em x=1 também daria contradição:
  • Continuidade em x=1:
1^{2}+b\cdot1=\log(1^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad b=-1.
  • Derivabilidade em x=1:
\lim_{x\to1^-}f'(x)=2\cdot1+b=2+b, \qquad \lim_{x\to1^+}f'(x)=\frac{2}{1}=2
2+b=2 \quad\Longrightarrow\quad b=0,
que contraria b=-1.

Resposta

Não existe par (a,b)\in\mathbb R^{2} que torne f derivável em todo \mathbb R.

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