Calcular os determinantes seguintes :
|ccc 1 & 1 & 1 cos a & cos b & cos c sin a & sin b & sin c |,|ccc 1+a & 1 & 1 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1+c |,|ccc a+b & a b & a^2+b^2 b+c & b c & b^2+c^2 c+a & c a & c^2+a^2 |

Passo 1

O enunciado pede para calcular três determinantes de matrizes 3×3. O conteúdo envolve propriedades de determinantes, operações sobre linhas e colunas, além do uso do lema de matrizes soma de posto 1. Vamos usar subtração de colunas, fatoração e o lema det(A+uv^T)=det Al(1+v^T A^-1ur).

Passo 2

Para o primeiro determinante
D1=|ccc1&1&1cos a&cos b&cos csin a&sin b&sin c|
Aplicando as operações C2to C2-C1 e C3to C3-C1, fica
D1=1cdotdetcos b-cos a&sin b-sin acos c-cos a&sin c-sin a
que, usando identidades trigonométricas, leva a
D1=4,sinl(tfraca-b2r),sinl(tfracb-c2r),sinl(tfracc-a2r)

Passo 3

Para o segundo determinante
D2=|ccc1+a&1&11&1+b&11&1&1+c| =detl(diag(a,b,c)+Jr),
com J matriz de uns. Pelo lema det(A+uv^T), temos
D2=abcl(1+tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr)=abc+ab+bc+ca

Passo 4

Para o terceiro determinante
D3=|ccca+b&ab&a^2+b^2b+c&bc&b^2+c^2c+a&ca&c^2+a^2|
Fazendo R1to R1-R3 e R2to R2-R3, fatorando b-c e b-a, e mais uma operação em linhas, chega-se a
D3=(ab+bc+ca),(a-b),(b-c),(c-a)

Passo 5

Esses são os valores dos três determinantes.

Resposta

4,sinl(tfraca-b2r),sinl(tfracb-c2r),sinl(tfracc-a2r), abc+ab+bc+ca, (ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)

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