Calcular bases dos subespaços de R^4, U, W, U+W e U cap W, sendo U=(x1, x2, x3, x4) mid x1- x2=0 e W=lang<=(1,1,2,1),(2,3,-1,1)rang<=.

Passo 1

O enunciado pede para calcular bases dos subespaços de R^4, quais sejam U, W, U+W e Ucap W, sendo
U=(x1,x2,x3,x4)mid x1-x2=0
e
W=lang<=(1,1,2,1),,(2,3,-1,1)rang<=
O conteúdo é Álgebra Linear: subespaços, soma e interseção. Vamos usar parametrização para U, identificar geradores de W, resolver a condição de interseção e aplicar
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Para achar uma base de U, note que a condição x1-x2=0 x1=x2. Seja
t=x1=x2, s=x3, r=x4
Então
(x1,x2,x3,x4)=(t,t,s,r) =t,(1,1,0,0)+s,(0,0,1,0)+r,(0,0,0,1)
Logo uma base de U é
(1,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1),
e dim U=3.

Passo 3

O subespaço W é gerado por
v1=(1,1,2,1), v2=(2,3,-1,1)
Verificamos que não existe lambda tal que lambda v1=v2, pois isso exigiria 2lambda=3, 4lambda=-1 simultaneamente. Logo v1,v2 é uma base de W e dim W=2.

Passo 4

Para , buscamos tais que
isto é, que a primeira coordenada seja igual à segunda:
Então todo vetor de é da forma . Logo
e .

Passo 5

Usando
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=3+2-1=4,
vemos que U+W=R^4. Para obter uma base de U+W, pegamos a base de U e acrescentamos vetores de W que não estejam em U. Note que
(1,1,2,1)in U,pois 1-1=0,
mas
(2,3,-1,1)notin U,pois 2-3neq0
Portanto uma base de U+W é
(1,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1),,(2,3,-1,1)

Resposta

Base de U: (1,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)
Base de W: (1,1,2,1),,(2,3,-1,1)
Base de Ucap W: (1,1,2,1)
Base de U+W: (1,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1),,(2,3,-1,1)

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