Considere o subespaço W=(a+c, b+c, a+b+c) mid a, b, c in R de R^3. Encontre um conjunto de geradores e uma base para W.

Passo 1

O enunciado define
W = (a+c,;b+c,;a+b+c)mid a,b,cinR
que é um subespaço de R^3. O conteúdo envolvido é representar W como combinação linear de vetores (span) e, em seguida, extrair dele uma base, isto é, um conjunto de geradores linearmente independentes.

Passo 2

Para parametrizar qualquer vetor de W, escrevemos
(a+c,;b+c,;a+b+c) = a,(1,0,1) ;+; b,(0,1,1);+;c,(1,1,1)
Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear dos vetores
v1=(1,0,1), v2=(0,1,1), v3=(1,1,1)

Passo 3

Logo, um conjunto de geradores de W é
,v1,;v2,;v3 = , (1,0,1),;(0,1,1),;(1,1,1)

Passo 4

Para verificar que v1,v2,v3 é base, checamos a independência linear. Se
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = (0,0,0),
então
(alpha+gamma,;beta+gamma,;alpha+beta+gamma)=(0,0,0)
Dessas três equações segue
gamma=-alpha, beta=-gamma=alpha e alpha+beta+gamma=alpha+alpha-alpha= alpha=0. Logo alpha=beta=gamma=0, o que prova independência. Como temos três vetores independentes em R^3, concluímos que dim W=3 e W=R^3.

Resposta

Um conjunto de geradores é
(1,0,1),;(0,1,1),;(1,1,1)
Como esses três vetores são linearmente independentes, eles formam também uma base de W.

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