Considere o ponto de R^3 cujas coordenadas no sistema de coordenadas usual são P=(1,2,3). Encontre um sistema de coordenadas no qual as coordenadas de P são [P]S=(-2,5,1).

Passo 1

O enunciado dá o ponto PinR^3 cujas coordenadas na base canônica (sistema usual) são [P]E=(1,2,3). Queremos encontrar uma outra base S=v1,v2,v3 de R^3 tal que as coordenadas de P nessa base sejam [P]S=(-2,5,1). O conteúdo envolvido é mudança de base em espaços vetoriais.

Passo 2

Seja M a matriz de passagem de coordenadas da base S para a base canônica E. Então, para todo vetor x,
[x]E ;=; M,[x]S
Em particular, para P temos
[P]E ;=; M,[P]S Longrightarrow 123 ;=; M-251
Como M tem colunas v1,v2,v3 (coordenadas desses vetores na base canônica), isso equivale a
-2,v1 ;+;5,v2 ;+;1,v3 ;=; 123

Passo 3

Para garantir que S seja base, precisamos que v1,v2,v3 sejam linearmente independentes e cumpram
-2,v1 +5,v2 +v3 = (1,2,3)
Como há infinitas soluções, escolhemos dois vetores simples e resolvemos o terceiro.

Passo 4

Escolhemos
v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0)
Então
-2,v1 +5,v2 = (-2,5,0),
e da relação
(-2,5,0) + v3 = (1,2,3)
segue
v3 = (1,2,3) - (-2,5,0) = (3,-3,3)
Verifica-se facilmente que v1,v2,v3 são L.I.

Resposta

Uma opção de sistema de coordenadas (base) em que [P]S=(-2,5,1) é
S = l(1,0,0),;(0,1,0),;(3,-3,3)r

Exercícios relacionados