Considere o ponto de cujas coordenadas no sistema de coordenadas usual são . Encontre um sistema de coordenadas no qual as coordenadas de são .
Passo 1
O enunciado dá o ponto cujas coordenadas na base canônica (sistema usual) são . Queremos encontrar uma outra base de tal que as coordenadas de nessa base sejam . O conteúdo envolvido é mudança de base em espaços vetoriais.
Passo 2
Seja a matriz de passagem de coordenadas da base para a base canônica . Então, para todo vetor ,
Em particular, para temos
Como M tem colunas v1,v2,v3 (coordenadas desses vetores na base canônica), isso equivale a
-2,v1 ;+;5,v2 ;+;1,v3 ;=; 123
Passo 3
Para garantir que S seja base, precisamos que v1,v2,v3 sejam linearmente independentes e cumpram
-2,v1 +5,v2 +v3 = (1,2,3)
Como há infinitas soluções, escolhemos dois vetores simples e resolvemos o terceiro.
Passo 4
Escolhemos
v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0)
Então
-2,v1 +5,v2 = (-2,5,0),
e da relação
(-2,5,0) + v3 = (1,2,3)
segue
v3 = (1,2,3) - (-2,5,0) = (3,-3,3)
Verifica-se facilmente que v1,v2,v3 são L.I.
Resposta
Uma opção de sistema de coordenadas (base) em que [P]S=(-2,5,1) é