Seja um -espaço vetorial de dimensão 4 com base , se definem os vetores
Provar que é uma base de e calcular as coordenadas na base de um vetor que possui coordenadas em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial de dimensão 4, ou seja, tem uma base com 4 vetores, que é a . Foi definido um novo conjunto de vetores onde cada é uma combinação linear dos . A nossa missão aqui é:
Provar que também é uma base de . Para isso, vamos precisar mostrar que os vetores de são linearmente independentes e que eles geram todo o espaço .
Calcular as coordenadas na base de um vetor que tem coordenadas na base .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz que representa a mudança de base de para . Cada coluna dessa matriz vai ser as coordenadas dos vetores na base .
Então, temos:
Passo 3
Para provar que B' é uma base, precisamos mostrar que os vetores são linearmente independentes. Isso acontece se o determinante da matriz A for diferente de zero.
Calculando o determinante, vemos que det(A) = -10 , que é diferente de zero. Então, os vetores v1, v2, v3, v4 são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos 4 vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, isso significa que B' também é uma base de V . Então, provamos que B' é uma base.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v na base B' . Sabemos que v tem coordenadas (1, 2, 0, 1) na base B . Isso significa que:
v = 1u1 + 2u2 + 0u3 + 1u4
Queremos expressar v como uma combinação linear dos vetores B' :
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4
Substituindo os vi pelas suas expressões em termos de ui :
v = a1(2u1 + u2 - u3) + a2(2u1 + u3 + 2u4) + a3(u1 + u2 - u3) + a4(-u1 + 2u3 + 3u4)
Passo 6
Vamos organizar os termos em função de u1, u2, u3, u4 :