Seja V um Q-espaço vetorial de dimensão 4 com base B=u1, u2, u3, u4, se definem os vetores
v1=2 u1+u2-u3, v2=2 u1+u3+2 u4, v3=u1+u2-u3, v4=-u1+2 u3+3 u4
Provar que B^prime=v1, v2, v3, v4 é uma base de V e calcular as coordenadas na base B^prime de um vetor v que possui coordenadas (1,2,0,1) em B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V de dimensão 4, ou seja, tem uma base com 4 vetores, que é a B = u1, u2, u3, u4 . Foi definido um novo conjunto de vetores B' = v1, v2, v3, v4 onde cada vi é uma combinação linear dos ui . A nossa missão aqui é:
  1. Provar que B' também é uma base de V . Para isso, vamos precisar mostrar que os vetores de B' são linearmente independentes e que eles geram todo o espaço V .
  2. Calcular as coordenadas na base B' de um vetor v que tem coordenadas (1, 2, 0, 1) na base B .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz que representa a mudança de base de B para B' . Cada coluna dessa matriz vai ser as coordenadas dos vetores v1, v2, v3, v4 na base B .
Então, temos:
A = 2 & 2 & 1 & -1 1 & 0 & 2 & 0 -1 & 1 & -1 & 2 0 & 2 & 0 & 3

Passo 3

Para provar que B' é uma base, precisamos mostrar que os vetores são linearmente independentes. Isso acontece se o determinante da matriz A for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 2 & 2 & 1 & -1 1 & 0 & 2 & 0 -1 & 1 & -1 & 2 0 & 2 & 0 & 3
Calculando o determinante, vemos que det(A) = -10 , que é diferente de zero. Então, os vetores v1, v2, v3, v4 são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos 4 vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, isso significa que B' também é uma base de V . Então, provamos que B' é uma base.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v na base B' . Sabemos que v tem coordenadas (1, 2, 0, 1) na base B . Isso significa que:
v = 1u1 + 2u2 + 0u3 + 1u4
Queremos expressar v como uma combinação linear dos vetores B' :
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4
Substituindo os vi pelas suas expressões em termos de ui :
v = a1(2u1 + u2 - u3) + a2(2u1 + u3 + 2u4) + a3(u1 + u2 - u3) + a4(-u1 + 2u3 + 3u4)

Passo 6

Vamos organizar os termos em função de u1, u2, u3, u4 :
v = (2a1 + 2a2 + a3 - a4)u1 + (a1 + a3)u2 + (-a1 + a2 - a3 + 2a4)u3 + (2a2 + 3a4)u4
Como v = 1u1 + 2u2 + 0u3 + 1u4 , temos o seguinte sistema de equações:
2a1 + 2a2 + a3 - a4 = 1 a1 + a3 = 2 -a1 + a2 - a3 + 2a4 = 0 2a2 + 3a4 = 1

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda equação:
a1 + a3 = 2 Rightarrow a1 = 2 - a3
Substituímos a1 = 2 - a3 na primeira e na terceira equações:
2(2 - a3) + 2a2 + a3 - a4 = 1 -(2 - a3) + a2 - a3 + 2a4 = 0
Simplificando:
4 - 2a3 + 2a2 + a3 - a4 = 1 Rightarrow 4 + 2a2 - a3 - a4 = 1 Rightarrow 2a2 - a3 - a4 = -3
-2 + a3 + a2 - a3 + 2a4 = 0 Rightarrow a2 + 2a4 = 2
Agora temos:
2a2 - a3 - a4 = -3 a2 + 2a4 = 2

Passo 8

Da segunda equação:
a2 = 2 - 2a4
Substituímos a2 = 2 - 2a4 na primeira equação:
2(2 - 2a4) - a3 - a4 = -3 Rightarrow 4 - 4a4 - a3 - a4 = -3 Rightarrow - a3 - 5a4 = -7 Rightarrow a3 + 5a4 = 7
Ainda temos a terceira equação do sistema original:
2a2 + 3a4 = 1
Substituindo a2 = 2 - 2a4 :
2(2 - 2a4) + 3a4 = 1 Rightarrow 4 - 4a4 + 3a4 = 1 Rightarrow -a4 = -3 Rightarrow a4 = 3

Passo 9

Agora que encontramos a4 = 3 , podemos encontrar as outras incógnitas:
Usando a2 = 2 - 2a4 :
a2 = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4
Usando a3 + 5a4 = 7 :
a3 + 5(3) = 7 Rightarrow a3 + 15 = 7 Rightarrow a3 = -8
E lembrando que a1 = 2 - a3 :
a1 = 2 - (-8) = 10

Resposta

As coordenadas do vetor v na base B' são (10, -4, -8, 3) .

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