Sejam U e W os subespaços de R^3: U=lang<=(1,-k^2+1,2),(k+1, k-1,-4)rang<= e W= (x1, x2, x3) in R^3: x1+x2+x3=0. Encontrar todos os valores de k in R para os quais U=W.

Passo 1

O enunciado define
U=lang<= v1,v2rang<=subsetR^3 com
v1=(1,,-k^2+1,,2), v2=(k+1,,k-1,,-4)
e o plano
W=(x1,x2,x3)inR^3:x1+x2+x3=0
Queremos achar k tal que U=W. Para isso precisamos de duas coisas:
  1. Usubset W, ou seja, v1 e v2 satisfaçam a equação x1+x2+x3=0.
  2. dim U=2, para que o subespaço gerado por v1,v2 seja justamente um plano.

Passo 2

Impor v1in W significa
1 + (-k^2+1) + 2 = 0
Isso dá
4 - k^2 = 0 Longrightarrow k^2 = 4 Longrightarrow k = 2 ou k = -2

Passo 3

Impor v2in W significa
(k+1) + (k-1) + (-4) = 0
Isso dá
2k - 4 = 0 Longrightarrow k = 2

Passo 4

A única solução comum das duas condições é
k = 2

Passo 5

Para k=2 temos
v1=(1,-3,2), v2=(3,1,-4)
Eles não são múltiplos um do outro, logo dim U=2. Como ambos estão em W e geram um plano de dimensão 2, segue U=W.

Resposta

k = 2

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