Calcular integralC(x^2+y^2)^n d s, onde C é a circunferência x=a cos t, y=a sent t ; a>0.

Passo 1

Aqui queremos calcular a integral de linha de primeira espécie
integralC(x^2+y^2)^n,ds ao longo da circunferência parametrizada por x=acos t,;y=asin t. Vamos usar a definição de integral de linha para funções escalares.

Passo 2

Para uma curva parametrizada r(t)=(x(t),y(t)), tin[alpha,beta], a integral de primeira espécie é dada por
integralC f(x,y),ds = integralalpha^beta fl(x(t),y(t)r),llvert r'(t)rrvert,dt

Passo 3

Na curva dada temos x^2+y^2=(acos t)^2+(asin t)^2=a^2. Logo
(x^2+y^2)^n = a^2n, que é constante ao longo de C.

Passo 4

Computando a derivada da parametrização:
r'(t)=(-asin t,,acos t) e, portanto,
llvert r'(t)rrvert = raiz(-asin t)^2+(acos t)^2 = a
Assim, ds = a,dt

Passo 5

Substituindo na fórmula da integral, temos
integralC (x^2+y^2)^n,ds = integral0^2pi a^2ncdot a,dt = a^2n+1 integral0^2pi dt = 2pi,a^2n+1

Resposta

2pi,a^2n+1

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