Calcular integralC(x-y) d s, onde C é a circunferência x^2+y^2=3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralC(x-y),ds, onde C é a circunferência definida por x^2+y^2=3x. O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva, e vamos precisar parametrizar C e usar
ds=raizl(dx/dtr)^2+l(dy/dtr)^2,dt

Passo 2

Identificar centro e raio da circunferência
x^2+y^2=3x ;Longrightarrow; x^2-3x+y^2=0 ;Longrightarrow; (x-tfrac32)^2+y^2=(tfrac32)^2,
logo o centro é l(tfrac32,0r) e o raio é tfrac32.

Passo 3

Parametrizar C por
x(t)=tfrac32+tfrac32cos t, y(t)=tfrac32sin t, tin[0,2pi]

Passo 4

Calcular ds. Derivamos
dxdt=-tfrac32sin t, dydt=tfrac32cos t
e então
ds =raizl(dx/dtr)^2+l(dy/dtr)^2,dt =raizl(tfrac32sin tr)^2+l(tfrac32cos tr)^2,dt =tfrac32,dt

Passo 5

Escrever a integral em t:
integralC(x-y),ds =integral0^2pil(x(t)-y(t)r),ds =integral0^2pil(tfrac32+tfrac32cos t-tfrac32sin tr)cdottfrac32,dt
Fatorando tfrac32:
=tfrac92integral0^2pil(1+cos t-sin tr),dt

Passo 6

Avaliar a integral usando
integral0^2pi1,dt=2pi,
integral0^2picos t,dt=0
e
integral0^2pisin t,dt=0:
integralC(x-y),ds =tfrac92l(2pi+0-0r) =tfrac9pi2

Resposta

9pi2

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