Nos exercícios 45 a 67, calcular a integral indefinida:
integral(sen x+x^2raiz1+x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integrall(sen x + x^2raiz1+x^2r),dx
O conteúdo principal é integração de soma de funções, usando a linearidade do integral e técnicas padrão: integração direta de sen x e manipulação algébrica para a parte dfracx^2raiz1+x^2.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes graças à linearidade:
integralsen x,dx ;+;integralx^2raiz1+x^2,dx

Passo 3

A primeira parte é direta:
integralsen x,dx = -cos x + C1

Passo 4

Para a segunda integral, note que
x^2 = (1+x^2) - 1,
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x^2raiz1+x^2 = 1+x^2raiz1+x^2 ;-;1raiz1+x^2 = raiz1+x^2 ;-;1raiz1+x^2
Assim
integralx^2raiz1+x^2,dx = integralraiz1+x^2,dx ;-;integral1raiz1+x^2,dx

Passo 5

A segunda parcela é o arco-seno hiperbólico:
integral1raiz1+x^2,dx = arcsinhx = ln!l(x+raiz1+x^2r) + C2

Passo 6

A primeira parcela usa a primitiva padrão de raiz1+x^2. Uma forma de chegar nela é por partes:
escolha u=raiz1+x^2, dv=dx. O resultado conhecido é
integralraiz1+x^2,dx = x2raiz1+x^2 +12ln!l(x+raiz1+x^2r) + C3

Passo 7

Juntando as duas parcelas da integral de x^2/raiz1+x^2, temos
integralx^2raiz1+x^2,dx = x2raiz1+x^2 +12ln!l(x+raiz1+x^2r) - ln!l(x+raiz1+x^2r) + C4
Isto simplifica para
integralx^2raiz1+x^2,dx = x2raiz1+x^2 - 12ln!l(x+raiz1+x^2r) + C5

Passo 8

Voltando à integral total e unificando as constantes, obtemos
integrall(sen x + x^2raiz1+x^2r),dx = -cos x + x2raiz1+x^2 - 12ln!l(x+raiz1+x^2r) + C

Resposta

-cos x + x2raiz1+x^2 - 12ln!l(x+raiz1+x^2r) + C

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