Em uma estação de tratamento de esgoto, um canal possui uma área de seção transversal de 1,2 m^2 e transporta água com velocidade de 0,8 m / s. Esse canal se bifurca em dois canais menores, um com área de 0,5 m^2 e outro com área de 0,7 m^2. Qual deve ser a velocidade da água em cada um dos canais menores, assumindo que a vazão se divide proporcionalmente às áreas?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pediu. Temos um canal principal com área de seção transversal de e velocidade da água de . Esse canal se divide em dois menores, um com área de e outro com . A gente precisa descobrir a velocidade da água em cada um dos canais menores, sabendo que a vazão (quantidade de água por segundo) se divide proporcionalmente às áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é vazão. A vazão ( Q = A times v ) é a quantidade de água que passa por um ponto por segundo e é calculada pela fórmula:
onde é a área da seção transversal e é a velocidade da água.

Passo 3

Vamos calcular a vazão no canal principal:
Qprincipal = Aprincipal times vprincipal = 1,2 , m^2 times 0,8 , m/s = 0,96 , m^3/s

Passo 4

Agora, sabemos que a vazão se divide proporcionalmente às áreas dos canais menores. Isso significa que a proporção entre as vazões dos dois canais menores será igual à proporção entre suas áreas:
Q1Q2 = A1A2 = 0,50,7

Passo 5

Temos também que a soma das vazões nos dois canais menores é igual à vazão do canal principal:
Q1 + Q2 = 0,96 , m^3/s

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, expressamos Q1 = 0,50,7 times Q2 em termos de Q1 = 57 times Q2 :

Passo 7

Substituímos 57 times Q2 + Q2 = 0,96 na segunda equação:
( 57 + 1 ) Q2 = 0,96
127 Q2 = 0,96

Passo 8

Resolvemos para Q2 = 0,96 times 712 :
Q2 = 0,56 , m^3/s

Passo 9

Agora, encontramos Q1 = 0,96 - 0,56 = 0,40 , m^3/s :

Passo 10

Com as vazões dos canais menores, podemos encontrar as velocidades. Usamos novamente v1 = Q1A1 = 0,400,5 = 0,8 , m/s .
Para o primeiro canal ( v2 = Q2A2 = 0,560,7 = 0,8 , m/s ):
Para o segundo canal ( ):

Resposta

A velocidade da água em cada um dos canais menores é de .

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