Calcular o centro de massa do conjunto A de densidade de sendo :
A=[0,1] times[0,1] e de;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o centro de massa de uma lâmina plana ocupando o quadrado [0,1]times[0,1] cuja densidade em cada ponto é de. O conteúdo que vamos usar é definição de massa e coordenadas do centro de massa em duas dimensões:
  • Massa total: M=integral duplaAde.
  • Coordenadas do centro de massa:
bar x=1Mintegral duplaA x,de

Passo 2

Primeiro vamos calcular a massa total M. Substituindo de no produto escala de área:
M=integraly=0^1integralx=0^1 y,dx,dy
Como a densidade não depende de x, fazemos primeiro a integral em x:
integralx=0^1 y,dx = yintegral0^1 dx = ycdot1 = y
Então
M=integral0^1 y,dy = l[tfracy^22r]0^1 = tfrac12

Passo 3

Agora calculamos o numerador para bar x, isto é Ix=integral duplaA x,de.
Ix=integraly=0^1integralx=0^1 x,y,dx,dy
De novo integramos primeiro em x:
integral0^1 x,y,dx = yintegral0^1 x,dx = ycdottfracx^22|0^1 = tfracy2
Então
Ix=integral0^1 tfracy2,dy = tfrac12integral0^1 y,dy = tfrac12cdottfrac12 = tfrac14

Passo 4

Em seguida, o numerador para bar y é Iy=integral duplaA y,de.
Iy=integraly=0^1integralx=0^1 y^2,dx,dy
Como não depende de x,
integral0^1 y^2,dx = y^2cdot1 = y^2
Logo
Iy=integral0^1 y^2,dy = l[tfracy^33r]0^1 = tfrac13

Passo 5

Por fim, aplicamos as fórmulas do centro de massa:
bar x=IxM=tfrac14tfrac12=tfrac12, bar y=IyM=tfrac13tfrac12=tfrac23
Isso nos dá as coordenadas do centro de massa.

Passo 6

O centro de massa do conjunto A com densidade de no quadrado unitário é dado por

Resposta

(tfrac12,,tfrac23)

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