Potências de seno e cosseno:
integral sen^4(x / 2) d x

Passo 1

Resumindo o problema: queremos calcular a integral integral sin^4l(tfracx2r),dx. Esse tipo de integral usa identidades de potência para reescrever sin^4 em termos de cossenos de múltiplos ângulos.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Elevando ao quadrado, obtemos:
sin^4theta = (1 - cos(2theta)2)^2 = 38 - 12cos(2theta) + 18cos(4theta)
Agora faça theta = x/2, então 2theta = x e 4theta = 2x, resultando em:
sin^4l(tfracx2r) = 38 - 12cos(x) + 18cos(2x)

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral 38,dx = 3x8,
integral l(-tfrac12cos xr),dx = -12sin x,
integral 18cos(2x),dx = 18 cdot 12 sin(2x) = 116sin(2x)

Passo 4

Somando tudo e acrescentando a constante de integração, obtemos o resultado final.

Resposta

3x8 - sin x2 + sin(2x)16 + C

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