Determine a área da cardioide r=2(1+sin theta) .
[
(A=6 \pi \quad u.a.)

Passo 1

A questão pede a área da cardioide definida por r=2(1+sintheta). O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula de área em polar:
A = tfrac12 integral0^2pi r(theta)^2 ,dtheta

Passo 2

Primeiro expandimos r^2:
r^2 = 4(1+sintheta)^2 = 4l(1 + 2sintheta + sin^2thetar)
Usando a identidade sin^2theta = tfrac1 - cos2theta2, temos:
r^2 = 4l(1 + 2sintheta + tfrac1 - cos2theta2r) = 6 + 8sintheta - 2cos2theta

Passo 3

Agora montamos a integral de área:
A = tfrac12 integral0^2pi l(6 + 8sintheta - 2cos2thetar) ,dtheta
Integramos termo a termo:
  • integral0^2pi6,dtheta = 6cdot2pi =12pi,
  • integral0^2pi8sintheta,dtheta = 0,
  • integral0^2pi-2cos2theta,dtheta = 0.

Passo 4

Portanto:
A = tfrac12 times 12pi = 6pi
e concluímos que a área da cardioide é 6,\pi unidades quadradas.

Resposta

6\pi u.a.

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