Potências de seno e cosseno:
integral cos ^5(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral cos^5(2x),dx. O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas: vamos usar redução de potências e substituição trigonométrica.

Passo 2

Reescrevemos cos^5(2x) como cos^4(2x)cos(2x) e aplicamos a identidade cos^2(u)=1-sin^2(u), obtendo
cos^5(2x)=l(1-sin^2(2x)r)^2cos(2x)

Passo 3

Fazemos a substituição u=sin(2x), de onde du=2cos(2x),dx ou cos(2x),dx=tfrac12,du. A integral transforma-se em
integral cos^5(2x),dx=12integral(1-u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o polinômio:
(1-u^2)^2=1-2u^2+u^4,
então
12integral(1-u^2)^2,du=12integral(1-2u^2+u^4),du=12l(u-tfrac23u^3+tfrac15u^5r)+C

Passo 5

Voltando à variável x com u=sin(2x), chegamos a
12sin(2x)-13sin^3(2x)+110sin^5(2x)+C

Resposta

tfrac12sin(2x)-tfrac13sin^3(2x)+tfrac110sin^5(2x)+C

Exercícios relacionados