Calcular a circulação:
\Gamma=\oint_{\gamma} \vec{v} \cdot d \vec{l}
Onde:
\vec{v}=\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}} \hat{i}-\frac{3 y}{x^{2}+y^{2}} \hat{j}
Para r=2 m

Passo 1

O enunciado pede a circulação \Gamma = \oint_{\gamma} \vec{v}\cdot d\vec{l}
para o campo
\vec{v} = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\hat{i} \;-\;\frac{3y}{x^{2}+y^{2}}\hat{j}
ao longo da curva \gamma círculo de raio r=2. Vamos resolver usando parametrização polar da curva e integral de linha.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio 2 por
x = 2\cos\theta,\quad y = 2\sin\theta,\quad \theta\in[0,2\pi].
Então o elemento de arco é
d\vec{l} = (dx)\,\hat{i} + (dy)\,\hat{j} = \bigl(-2\sin\theta\,d\theta\bigr)\hat{i} + \bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr)\hat{j}.

Passo 3

Expressamos \vec v em função de \theta. Como x^{2}+y^{2}=4,
\vec v = \frac{2(2\sin\theta)}{4}\,\hat{i} -\frac{3(2\sin\theta)}{4}\,\hat{j} = \frac{2\sin\theta}{2}\,\hat{i} -\frac{3\sin\theta}{2}\,\hat{j} = \frac{\sin\theta}{1}\,\hat{i} -\frac{3\sin\theta}{2}\,\hat{j}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar
\vec v\cdot d\vec l = \Bigl(\sin\theta\Bigr)\bigl(-2\sin\theta\,d\theta\bigr) + \Bigl(-\tfrac{3\sin\theta}{2}\Bigr)\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = -2\sin^{2}\theta\,d\theta -3\sin\theta\cos\theta\,d\theta.
Integramos de 0 a 2\pi:
\Gamma = \int_{0}^{2\pi}\Bigl(-2\sin^{2}\theta -3\sin\theta\cos\theta\Bigr)d\theta.
Sabemos que \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi e \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0. Logo
\Gamma = -2\!\times\pi \;-\;3\!\times0 = -2\pi.

Resposta

\displaystyle \Gamma = -2\pi

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