Questão -5: Determine a integral \int_{0}^{1} x^{2} e^{-x^{3}} d x
a. =\frac{1}{3}+\frac{1}{3 e}
b. =\frac{1}{3}-\frac{1}{e}
c. =\frac{1}{3}+\frac{1}{e}
d. =\frac{1}{3}-\frac{1}{3 e}
e. =\frac{1}{3}-\frac{1}{2 e}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x^{3}} \,dx
Esse é um caso clássico de uso de substituição simples, pois vemos x^{2}dx junto do expoente -x^{3}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3}
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du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Quando x varia de 0 a 1, u varia de
u(0)=0^{3}=0 \quad\text{até}\quad u(1)=1^{3}=1.é
Substituindo na integral,
\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x^{3}} \,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{-u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du.

Passo 4

Calculando a integral em u,
\frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{3}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(-e^{-1}+e^{0}\bigr) = \frac{1}{3}\bigl(1-\tfrac{1}{e}\bigr) = \frac{1}{3}-\frac{1}{3e}.

Resposta

d. \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{3e}

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