Questão - 6: Determine o valor \underline{\mathrm{h}}(\pi), sabendo que \mathrm{h}(\mathrm{x})=\int e^{x} \operatorname{sen} x d x e h(0)=-\frac{1}{2} \downarrow
a. \frac{1}{2} e^{\pi}
b. \frac{1}{2}
c. e^{\pi}
d. 1
e. 0

Passo 1

O enunciado define \displaystyle h(x)=\int e^{x}\sin x\,dx
e dá a condição inicial h(0)=-\tfrac12. Queremos achar h(\pi). O conteúdo necessário é integração por partes para resolver a integral indefinida e, em seguida, usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Calculemos a integral
I=\int e^{x}\sin x\,dx.
Aplicando integração por partes duas vezes ou usando o método de equacionar, chega-se ao resultado padrão
I=\frac12\,e^{x}\bigl(\sin x-\cos x\bigr)+C.
Logo
h(x)=\frac12\,e^{x}\bigl(\sin x-\cos x\bigr)+C.

Passo 3

Usando a condição h(0)=-\tfrac12, temos
h(0)=\frac12\,e^{0}\bigl(\sin0-\cos0\bigr)+C =\frac12\,(0-1)+C=-\tfrac12+C.
Como isso deve valer -\tfrac12, deduzimos C=0.

Passo 4

Com C=0, avaliamos em x=\pi:
h(\pi) =\frac12\,e^{\pi}\bigl(\sin\pi-\cos\pi\bigr) =\frac12\,e^{\pi}(0-(-1)) =\frac12\,e^{\pi}.

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac12\,e^{\pi}

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