Calcular o comprimento de arco da cardioide
.
Passo 1
Vamos calcular o comprimento do arco da cardioide dada pela equação polar
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve integração e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco em coordenadas polares:
Neste caso, nosso intervalo de
será de
a
, pois a cardioide completa um ciclo completo nesse intervalo.
Passo 3
Vamos identificar
e calcular sua derivada em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
A raiz da expressão simplificada fica:
Passo 7
Usamos a identidade trigonométrica
:
Passo 8
Então, o comprimento de arco fica:
Sabemos que
é uma função periódica, e a integral ao longo de
a
resulta em:
Passo 9
Então, multiplicando:
Resposta
O comprimento de arco da cardioide
é
unidades.