Calcular o comprimento de arco da cardioide r=2+2 cos theta.

Passo 1

Vamos calcular o comprimento do arco da cardioide dada pela equação polar r = 2 + 2costheta . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve integração e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco em coordenadas polares:
L = integrala^b raizr^2 + ( drdtheta )^2 , dtheta
Neste caso, nosso intervalo de theta será de 0 a 2pi, pois a cardioide completa um ciclo completo nesse intervalo.

Passo 3

Vamos identificar r e calcular sua derivada em relação a theta:
r = 2 + 2costheta
Derivando r em relação a theta:
drdtheta = -2sintheta

Passo 4

Substituímos r e drdtheta na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz(2 + 2costheta)^2 + (-2sintheta)^2 , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(2 + 2costheta)^2 + (-2sintheta)^2 = 4 + 8costheta + 4cos^2theta + 4sin^2theta
Sabemos que cos^2theta + sin^2theta = 1, então:
4 + 8costheta + 4(1) = 8 + 8costheta

Passo 6

A raiz da expressão simplificada fica:
raiz8 + 8costheta = raiz8(1 + costheta) = 2raiz2raiz1 + costheta

Passo 7

Usamos a identidade trigonométrica 1 + costheta = 2cos^2(theta2):
2raiz2raiz2cos^2(theta2) = 2raiz2 cdot raiz2 cdot |cos(theta2)| = 4|cos(theta2)|

Passo 8

Então, o comprimento de arco fica:
L = 4 integral0^2pi |cos(theta2)| , dtheta
Sabemos que |cos(theta2)| é uma função periódica, e a integral ao longo de 0 a 2pi resulta em:
integral0^2pi |cos(theta2)| , dtheta = 4

Passo 9

Então, multiplicando:
L = 4 times 4 = 16

Resposta

O comprimento de arco da cardioide r = 2 + 2costheta é boxed16 unidades.

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