Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
f) integral 1x^3-4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral
integral 1x^3-4x^2;dx
usando frações parciais. O conteúdo aqui é decompor a função racional em somatória de termos mais simples (como 1/x, 1/x^2, 1/(x-4)) e depois integrar cada um.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^3-4x^2=x^2(x-4)

Passo 3

A forma geral da decomposição em frações parciais, levando em conta o fator (x)^2 repetido e o fator (x-4), é
1x^2(x-4)=Ax+Bx^2+Cx-4

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por
Expandindo e agrupando termos em potências de :
Comparando coeficientes, temos o sistema
Da terceira equação sai , logo .
Da primeira: .

Passo 5

Substituindo A, B e C de volta, a integral vira
integral l(-116,1x;-;14,1x^2;+;116,1x-4r),dx

Passo 6

Agora é só integrar termo a termo:
integral -116,1x,dx = -116lnlvert xrvert,
integral -14,1x^2,dx = -14integral x^-2,dx = -14l(-1xr) = 14x,
integral 116,1x-4,dx = 116lnlvert x-4rvert

Resposta

integral 1x^3-4x^2,dx = -116lnlvert xrvert + 14x + 116lnlvert x-4rvert + C

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