Encontre o comprimento de arco
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da função
quando
varia de 0 a 2. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar usar uma fórmula que envolve integração e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Onde:
-
é a função que nos dá a distância em relação à origem para cada . -
é a derivada de em relação a . -
e são os limites de que definem o intervalo do arco que queremos medir.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dado que
, a derivada é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Multiplicando pela
:
Resposta
O comprimento do arco é
. Calculando numericamente, temos aproximadamente
unidades.