Encontre o comprimento de arco r=e^2 theta entre theta=0 e theta=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da função r = e^2theta quando theta varia de 0 a 2. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar usar uma fórmula que envolve integração e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
L = integrala^b raizr^2 + ( drdtheta )^2 , dtheta
Onde:
  • r é a função que nos dá a distância em relação à origem para cada theta.
  • drdtheta é a derivada de r em relação a theta.
  • a e b são os limites de theta que definem o intervalo do arco que queremos medir.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r em relação a theta. Dado que r = e^2theta , a derivada é:
drdtheta = ddtheta e^2theta = 2e^2theta

Passo 4

Agora, vamos substituir r e drdtheta na fórmula do comprimento do arco:
L = integral0^2 raiz ( e^2theta )^2 + ( 2e^2theta )^2 , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz e^4theta + 4e^4theta = raiz5e^4theta = e^2theta raiz5
Então, a integral fica:
L = raiz5 integral0^2 e^2theta , dtheta

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral e^2theta , dtheta = 12 e^2theta + C
Aplicando os limites de 0 a 2:
12 e^4 - 12 e^0 = 12 e^4 - 12
Multiplicando pela raiz5:
L = raiz5 ( 12 e^4 - 12 ) = raiz52 ( e^4 - 1 )

Resposta

O comprimento do arco é raiz52 ( e^4 - 1 ) . Calculando numericamente, temos aproximadamente 75,81 unidades.

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