As secções transversais de um certo sólido por planos perpendiculares ao eixo
são círculos cujos diâmetros estão compreendidos entre as representações geométricas dos gráficos das curvas
e
. O sólido jaz entre os pontos de intersecção destas duas curvas. Encontre seu volume.
Passo 1
O enunciado diz que temos um sólido cujas secções transversais, feitas por planos perpendiculares ao eixo
, são círculos. O diâmetro de cada círculo vai da curva de baixo
até a curva de cima
. O sólido se estende entre os pontos de interseção dessas curvas, que encontramos a seguir.
Passo 2
Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos
de onde
Logo o sólido vai de
até
.
Passo 3
Em cada
o diâmetro do círculo é a diferença entre a cota superior e a inferior:
O raio vale
e a área da secção transversal é
Passo 4
O volume do sólido é a integral dessa área de
até
:
Como o integrando é função par, podemos usar simetria ou expandir direto.
Passo 5
Expandindo o quadrado temos
Então
Calculemos cada termo usando paridade:
Somando tudo num denominador comum
:
Portanto
Resposta
O volume do sólido é
.