As secções transversais de um certo sólido por planos perpendiculares ao eixo x são círculos cujos diâmetros estão compreendidos entre as representações geométricas dos gráficos das curvas y=x^2 e y=8-x^2. O sólido jaz entre os pontos de intersecção destas duas curvas. Encontre seu volume.

Passo 1

O enunciado diz que temos um sólido cujas secções transversais, feitas por planos perpendiculares ao eixo x, são círculos. O diâmetro de cada círculo vai da curva de baixo y=x^2 até a curva de cima y=8-x^2. O sólido se estende entre os pontos de interseção dessas curvas, que encontramos a seguir.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos
x^2 = 8 - x^2
de onde
2x^2 = 8 Longrightarrow x^2 = 4 Longrightarrow x = -2,;2
Logo o sólido vai de x=-2 até x=2.

Passo 3

Em cada x o diâmetro do círculo é a diferença entre a cota superior e a inferior:
D(x) = l(8 - x^2r) - l(x^2r) = 8 - 2x^2
O raio vale
r(x) = D(x)2 = 4 - x^2,
e a área da secção transversal é
A(x) = pil[r(x)r]^2 = pil(4 - x^2r)^2

Passo 4

O volume do sólido é a integral dessa área de x=-2 até x=2:
V = integral-2^2 A(x),dx = pi integral-2^2 l(4 - x^2r)^2 dx
Como o integrando é função par, podemos usar simetria ou expandir direto.

Passo 5

Expandindo o quadrado temos
(4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4
Então
integral-2^2 (4 - x^2)^2 dx = integral-2^2 16,dx ;-; 8integral-2^2 x^2,dx ;+; integral-2^2 x^4,dx
Calculemos cada termo usando paridade:
integral-2^216,dx = 16cdot(2-(-2)) = 64,
integral-2^2x^2,dx = 2integral0^2x^2,dx = 2cdot2^33 = 163 Longrightarrow -8integral-2^2x^2,dx = -1283,
integral-2^2x^4,dx = 2integral0^2x^4,dx = 2cdot2^55 = 645
Somando tudo num denominador comum 15:
64 - 1283 + 645 = 960 - 640 + 19215 = 51215
Portanto
V = pi cdot 51215 = 512pi15

Resposta

O volume do sólido é 512pi15.

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