Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
Passo 1
O enunciado dá a curva definida por
no intervalo
e pede o comprimento da parte dessa curva com a condição
. Informações importantes que temos:
- A equação da curva:
. - O intervalo para
: . - A condição
(isso permite resolver a equação para como função de ).
A pergunta é: qual é o comprimento de arco da curva correspondente a esses dados?
Passo 2
Para encontrar o comprimento de arco de uma curva dada como função
em um intervalo
usamos a fórmula
Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
(ou seja, a inclinação da curva em cada ponto). A expressão
mede o alongamento do elemento de comprimento em relação ao eixo
. Então nosso objetivo é:
- escrever
como função de usando a condição ; - calcular
; - calcular a integral acima de
até .
Passo 3
Da equação dada
e da condição
, podemos tomar a raiz positiva:
Agora vamos derivar essa função passo a passo. Use a regra da cadeia: se
, primeiro derivamos a potência
. A derivada de
é
porque reduzimos o expoente em 1 (de
para
) e multiplicamos por
. Multiplicando pelo fator externo
, obtemos
Portanto
.
Passo 4
Agora montamos o integrando da fórmula do comprimento:
Fazendo a conta
. Assim a integral do comprimento fica
Explicação: reduzimos a expressão para uma raiz quadrada simples, o que facilita com substituição linear em
.
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição linear
Troca dos limites: quando
temos
; quando
temos
.
A integral passa a ser
A integral passa a ser
Passo 6
Integramos usando a regra de potência:
Portanto
Portanto
Se preferir escrever de outra forma equivalente, podemos usar
e obter