Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
y^{2}=4(x+4)^{3}, \quad 0 \leq x \leq 2, \quad y>0

Passo 1

O enunciado dá a curva definida por \;y^{2}=4(x+4)^{3}\; no intervalo \;0 \le x \le 2\; e pede o comprimento da parte dessa curva com a condição \;y>0\;. Informações importantes que temos:
  • A equação da curva: \;y^{2}=4(x+4)^{3}\;.
  • O intervalo para x: \;0 \le x \le 2\;.
  • A condição y>0 (isso permite resolver a equação para y como função de x).
    A pergunta é: qual é o comprimento de arco da curva correspondente a esses dados?

Passo 2

Para encontrar o comprimento de arco de uma curva dada como função y=y(x) em um intervalo [a,b] usamos a fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Explicando devagar: \;y'(x)\; é a derivada de y em relação a x (ou seja, a inclinação da curva em cada ponto). A expressão \sqrt{1+(y')^{2}} mede o alongamento do elemento de comprimento em relação ao eixo x. Então nosso objetivo é:
  1. escrever y como função de x usando a condição y>0;
  2. calcular y'(x);
  3. calcular a integral acima de x=0 até x=2.

Passo 3

Da equação dada \;y^{2}=4(x+4)^{3}\; e da condição \;y>0\;, podemos tomar a raiz positiva:
y=2(x+4)^{3/2}.
Agora vamos derivar essa função passo a passo. Use a regra da cadeia: se y = 2\cdot (x+4)^{3/2}, primeiro derivamos a potência (x+4)^{3/2}. A derivada de (x+4)^{3/2} é
\frac{d}{dx}\bigl((x+4)^{3/2}\bigr)=\frac{3}{2}(x+4)^{1/2},
porque reduzimos o expoente em 1 (de 3/2 para 1/2) e multiplicamos por 3/2. Multiplicando pelo fator externo 2, obtemos
y'(x)=2\cdot\frac{3}{2}(x+4)^{1/2}=3(x+4)^{1/2}.
Portanto \;y'(x)=3\sqrt{x+4}\;.

Passo 4

Agora montamos o integrando da fórmula do comprimento:
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=1+\bigl(3(x+4)^{1/2}\bigr)^{2}=1+9(x+4).
Fazendo a conta 1+9(x+4)=1+9x+36=9x+37. Assim a integral do comprimento fica
L=\int_{0}^{2}\sqrt{9x+37}\;dx.
Explicação: reduzimos a expressão para uma raiz quadrada simples, o que facilita com substituição linear em x.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{9x+37}\;dx fazemos a substituição linear
u=9x+37 \quad\Rightarrow\quad du=9\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{9}.
Troca dos limites: quando x=0 temos u=37; quando x=2 temos u=9\cdot2+37=55.
A integral passa a ser
L=\int_{u=37}^{u=55}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{9}=\frac{1}{9}\int_{37}^{55}u^{1/2}\;du.

Passo 6

Integramos usando a regra de potência: \displaystyle \int u^{1/2}\;du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
L=\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{37}^{55}=\frac{2}{27}\Bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\Bigr).
Se preferir escrever de outra forma equivalente, podemos usar u^{3/2}=u\sqrt{u} e obter
L=\frac{2}{27}\bigl(55\sqrt{55}-37\sqrt{37}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{27}\bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\bigr)

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