Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e
aparecem na integranda; precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função. Não há outras restrições ou dados sobre intervalo; assumimos
em um domínio onde as funções estão definidas.
Passo 2
Vamos observar a estrutura da integranda para escolher uma substituição útil. Note que a derivada de
é
Prova curta disso:
. Derivando,
Como a integranda contém o produto
(embutido em
), é natural tentar a substituição
Passo 3
Separe a integranda de modo a evidenciar o fator
:
Usando a substituição
, o fator entre parênteses vira
. Portanto a integral transforma-se em
Agora precisamos escrever
em termos de
.
Passo 4
Use a identidade pitagórica para tangente e secante:
Dessa identidade segue que
Então
Como
, temos
. Logo
Passo 5
Substituindo na integral em
obtemos
Expanda o quadrado:
Agora integramos termo a termo, usando a regra de potência
para
:
Simplificando o coeficiente:
Passo 6
Volte da substituição
. Substituindo
de volta na primitiva, a antiderivada da integranda é
onde
é a constante de integração. Se quiser, você pode verificar diferenciando essa expressão e confirmando que retorna
.