\int \operatorname{tg}^{5}(x) \operatorname{sec} (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{tg}^{5}(x)\,\operatorname{sec}(x)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\operatorname{tg}(x) e \operatorname{sec}(x) aparecem na integranda; precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função. Não há outras restrições ou dados sobre intervalo; assumimos x em um domínio onde as funções estão definidas.

Passo 2

Vamos observar a estrutura da integranda para escolher uma substituição útil. Note que a derivada de \operatorname{sec}(x) é
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x).
Prova curta disso: \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Derivando,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) =\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x).
Como a integranda contém o produto \operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(x) (embutido em \operatorname{tg}^5(x)\operatorname{sec}(x)), é natural tentar a substituição
u=\operatorname{sec}(x), \qquad du=\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)\,dx.

Passo 3

Separe a integranda de modo a evidenciar o fator \operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(x)\,dx:
\operatorname{tg}^{5}(x)\operatorname{sec}(x)\,dx=\operatorname{tg}^{4}(x)\cdot\big(\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(x)\,dx\big).
Usando a substituição u=\operatorname{sec}(x), o fator entre parênteses vira du. Portanto a integral transforma-se em
\int \operatorname{tg}^{4}(x)\,du.
Agora precisamos escrever \operatorname{tg}^{4}(x) em termos de u.

Passo 4

Use a identidade pitagórica para tangente e secante:
1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Dessa identidade segue que
\operatorname{tg}^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1.
Então
\operatorname{tg}^{4}(x)=\big(\operatorname{tg}^{2}(x)\big)^{2}=\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{2}.
Como u=\operatorname{sec}(x), temos \operatorname{sec}^{2}(x)=u^{2}. Logo
\operatorname{tg}^{4}(x)=(u^{2}-1)^{2}.

Passo 5

Substituindo na integral em u obtemos
\int \operatorname{tg}^{4}(x)\,du=\int (u^{2}-1)^{2}\,du.
Expanda o quadrado:
(u^{2}-1)^{2}=u^{4}-2u^{2}+1.
Agora integramos termo a termo, usando a regra de potência \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1:
\int (u^{4}-2u^{2}+1)\,du =\int u^{4}\,du-2\int u^{2}\,du+\int 1\,du =\frac{u^{5}}{5}-2\cdot\frac{u^{3}}{3}+u + C.
Simplificando o coeficiente:
\frac{u^{5}}{5}-\frac{2u^{3}}{3}+u + C.

Passo 6

Volte da substituição u=\operatorname{sec}(x). Substituindo u de volta na primitiva, a antiderivada da integranda é
\frac{1}{5}\operatorname{sec}^{5}(x)-\frac{2}{3}\operatorname{sec}^{3}(x)+\operatorname{sec}(x)+C,
onde C é a constante de integração. Se quiser, você pode verificar diferenciando essa expressão e confirmando que retorna \operatorname{tg}^{5}(x)\operatorname{sec}(x).

Resposta

\dfrac{1}{5}\operatorname{sec}^{5}(x)-\dfrac{2}{3}\operatorname{sec}^{3}(x)+\operatorname{sec}(x)+C

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