\int\left(x^{2}+1\right) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=(x^{2}+1)\operatorname{sen}(x).
Informações dadas: a integranda é (x^{2}+1)\operatorname{sen}(x). Não há limites (é integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: a integral é linear, então podemos separar a soma:
\int (x^{2}+1)\operatorname{sen}(x)\,dx = \int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx + \int \operatorname{sen}(x)\,dx.
Explico a ideia que vou usar: para \int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx vamos aplicar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são partes que escolhemos: u é uma expressão que fica mais simples ao derivar, dv é algo fácil de integrar. Quando eu escrever du quero dizer du = u'(x)\,dx e quando escrever v é a primitiva de dv.

Passo 3

Aplicando integração por partes em \int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx: escolho
u = x^{2},\qquad dv=\operatorname{sen}(x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).
Usando a fórmula,
\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = u v - \int v\,du = -x^{2}\cos(x) - \int \big(-\cos(x)\big)\cdot 2x\,dx.
Simplificando o sinal,
\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = -x^{2}\cos(x) + \int 2x\cos(x)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \int 2x\cos(x)\,dx. Novamente por partes, escolho
u = 2x,\qquad dv=\cos(x)\,dx.
Então
du = 2\,dx,\qquad v=\int \cos(x)\,dx = \sin(x).
Aplicando a fórmula,
\int 2x\cos(x)\,dx = u v - \int v\,du = 2x\sin(x) - \int \sin(x)\cdot 2\,dx.
Isto é
\int 2x\cos(x)\,dx = 2x\sin(x) - 2\int \sin(x)\,dx.

Passo 5

Calculamos \int \sin(x)\,dx, que é -\cos(x). Substituindo:
\int 2x\cos(x)\,dx = 2x\sin(x) - 2\big(-\cos(x)\big) = 2x\sin(x) + 2\cos(x).
Voltando à expressão do Passo 3,
\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = -x^{2}\cos(x) + \big(2x\sin(x) + 2\cos(x)\big).
Ou seja,
\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = -x^{2}\cos(x) + 2x\sin(x) + 2\cos(x).

Passo 6

Agora somamos o outro termo que separamos no Passo 2: \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x). Portanto
\int (x^{2}+1)\operatorname{sen}(x)\,dx = \big(-x^{2}\cos(x) + 2x\sin(x) + 2\cos(x)\big) + \big(-\cos(x)\big) + C.
Simplificando 2\cos(x)-\cos(x)=\cos(x),
\int (x^{2}+1)\operatorname{sen}(x)\,dx = -x^{2}\cos(x) + 2x\sin(x) + \cos(x) + C.
Podemos reescrever de forma factorizada:
\int (x^{2}+1)\operatorname{sen}(x)\,dx = (1 - x^{2})\cos(x) + 2x\sin(x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando o resultado obtemos a integranda. Diferenciando F(x)=(1-x^{2})\cos(x)+2x\sin(x):
F'(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(x)=(x^{2}+1)\operatorname{sen}(x),
confirmando que está correto. Força aí — já está feito!

Resposta

(1 - x^{2})\cos(x) + 2x\operatorname{sen}(x) + C

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