Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função
tal que
.
Informações dadas: a integranda é . Não há limites (é integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração
.
Informações dadas: a integranda é
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: a integral é linear, então podemos separar a soma:
Explico a ideia que vou usar: para
vamos aplicar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Aqui
e
são partes que escolhemos:
é uma expressão que fica mais simples ao derivar,
é algo fácil de integrar. Quando eu escrever
quero dizer
e quando escrever
é a primitiva de
.
Passo 3
Aplicando integração por partes em
: escolho
Então
Usando a fórmula,
Simplificando o sinal,
Passo 4
Agora calculamos
. Novamente por partes, escolho
Então
Aplicando a fórmula,
Isto é
Passo 5
Calculamos
, que é
. Substituindo:
Voltando à expressão do Passo 3,
Ou seja,
Passo 6
Agora somamos o outro termo que separamos no Passo 2:
. Portanto
Simplificando
,
Podemos reescrever de forma factorizada:
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando o resultado obtemos a integranda. Diferenciando
:
confirmando que está correto. Força aí — já está feito!