Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
y=\operatorname{sen} x-x \cos x, 0 \leq x \leq \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\sin x - x\cos x em 0\le x\le \pi e pede que se estabeleça a integral que representa o comprimento de arco dessa curva no intervalo indicado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
y=\sin x - x\cos x,
\text{o intervalo: } 0\le x\le \pi.
A única pergunta é: qual é a integral que fornece o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para comprimentos de arco de curvas dadas por funções y=f(x). Imagine um pequeno trecho da curva entre x e x+dx. A variação horizontal é dx e a variação vertical é dy. O comprimento diferencial desse trecho, chamado ds, vem do teorema de Pitágoras:
ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.
Agora dividimos por dx dentro da raiz e obtemos
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\;dx.
Portanto, o comprimento total da curva de x=a até x=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Aqui \frac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x, a e b são os extremos do intervalo, e dx é a variável de integração. Esse é o passo teórico essencial para montar a integral do comprimento de arco. Um exemplo simples para fixar: se y=x em [0,1], então \frac{dy}{dx}=1 e
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+1^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,dx=\sqrt{2}.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada \frac{dy}{dx} para a função dada. Escrevendo a função:
y=\sin x - x\cos x.
Para derivar a segunda parcela usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\cos x, então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u'=1 e v'=-\sin x. Portanto
\frac{d}{dx}\big(x\cos x\big)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
Agora derivamos y termo a termo:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin x)-\frac{d}{dx}(x\cos x)=\cos x -\big(\cos x - x\sin x\big).

Passo 4

Simplificamos a expressão da derivada: ao subtrair \cos x - x\sin x temos cancelamento das \cos x:
\frac{dy}{dx}=\cos x -\cos x + x\sin x = x\sin x.
Portanto a derivada é muito simples:
\frac{dy}{dx}=x\sin x.

Passo 5

Agora substituímos \frac{dy}{dx} na fórmula do comprimento de arco. Primeiro calculemos o quadrado da derivada:
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=(x\sin x)^{2}=x^{2}\sin^{2}x.
Então a expressão dentro da raiz fica
1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=1+x^{2}\sin^{2}x.
Logo o comprimento de arco L no intervalo 0\le x\le\pi é
L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+x^{2}\sin^{2}x}\,dx.
Observação rápida e amigável: essa integral não tem forma elementar fechada conhecida (ou seja, não é algo que a gente vá conseguir integrar em termos de funções simples), mas a pergunta pediu só para “estabelecer” a integral, e isso já está feito.

Resposta

L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+x^{2}\sin^{2}x}\,dx

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