Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado dá a curva
em
e pede que se estabeleça a integral que representa o comprimento de arco dessa curva no intervalo indicado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A única pergunta é: qual é a integral que fornece o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para comprimentos de arco de curvas dadas por funções
. Imagine um pequeno trecho da curva entre
e
. A variação horizontal é
e a variação vertical é
. O comprimento diferencial desse trecho, chamado
, vem do teorema de Pitágoras:
Agora dividimos por
dentro da raiz e obtemos
Portanto, o comprimento total da curva de
até
é dado por
Aqui
é a derivada de
em relação a
,
e
são os extremos do intervalo, e
é a variável de integração. Esse é o passo teórico essencial para montar a integral do comprimento de arco. Um exemplo simples para fixar: se
em
, então
e
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada
para a função dada. Escrevendo a função:
Para derivar a segunda parcela usamos a regra do produto: se
e
, então
. Aqui
e
. Portanto
Agora derivamos
termo a termo:
Passo 4
Simplificamos a expressão da derivada: ao subtrair
temos cancelamento das
:
Portanto a derivada é muito simples:
Passo 5
Agora substituímos
na fórmula do comprimento de arco. Primeiro calculemos o quadrado da derivada:
Então a expressão dentro da raiz fica
Logo o comprimento de arco
no intervalo
é
Observação rápida e amigável: essa integral não tem forma elementar fechada conhecida (ou seja, não é algo que a gente vá conseguir integrar em termos de funções simples), mas a pergunta pediu só para “estabelecer” a integral, e isso já está feito.