Calcular o comprimento de arco da curva na forma paramétrica:
OBS: Usar nas questões 2 e 3, a fórmula:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o comprimento do arco de uma curva que está dada de forma paramétrica. Isso faz parte do cálculo, especificamente no estudo de comprimentos de curvas. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que envolve derivadas das funções que definem a curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $. A função $ x(t) = 3t + 2 $ tem derivada $ x’(t) = 3 $, e a função $ y(t) = t - 1 $ tem derivada $ y’(t) = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações:
Aqui, $ x’(t) $ e $ y’(t) $ são as derivadas que calculamos no passo anterior.
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula, temos:
Passo 5
A integral de $ \sqrt{10} $ em relação a $ t $ de 0 a 2 é fácil de resolver, já que $ \sqrt{10} $ é uma constante:
Resposta
O comprimento do arco da curva é $ 2\sqrt{10} $ unidades.