Sendo
, quais são seus extremos?
(Sol. (-1/2,1), (1⁄2,1 mínimos relativos)
(Sol. (-1/2,1), (1⁄2,1 mínimos relativos)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=2x4+y2−x^2−2y, isto é, achar onde ∇f=0 e usar a matriz Hessiana para dizer se são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais e resolver ∇f=0. Temos
Igualando a zero:
Passo 3
Calcular a Hessiana e avaliar a classificação. As segundas derivadas são:
A determinante da Hessiana é
Passo 4
Avaliar em cada ponto crítico:
- Em (0,1):
⇒ → ponto de sela. - Em (±½,1):
⇒ e → mínimos relativos.
Passo 5
Concluímos que os únicos extremos relativos (mínimos) da função são nos pontos (−½,1) e (½,1).
Resposta
Os extremos relativos são mínimos em
e
.