Sendo f(x, y)=2 x^4+y^2-x^2-2 y, quais são seus extremos?
(Sol. (-1/2,1), (1⁄2,1 mínimos relativos)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=2x4+y2−x^2−2y, isto é, achar onde ∇f=0 e usar a matriz Hessiana para dizer se são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e resolver ∇f=0. Temos
fx(x,y)=partialpartial x(2x^4+y^2−x^2−2y)=8x^3−2x=2x(4x^2−1)
fy(x,y)=partialpartial y(2x^4+y^2−x^2−2y)=2y−2
Igualando a zero: 2x(4x^2−1)=0 x=0, x=pmtfrac12 e 2y−2=0 y=1. Logo, os candidatos são (0,1), (½,1) e (−½,1).

Passo 3

Calcular a Hessiana e avaliar a classificação. As segundas derivadas são:
fxx(x,y)=24x^2−2, fyy(x,y)=2, fxy(x,y)=0
A determinante da Hessiana é D=fxxfyy−fxy^2.

Passo 4

Avaliar em cada ponto crítico:
  • Em (0,1): fxx=-2, fyy=2 D=-4<0 → ponto de sela.
  • Em (±½,1): fxx=24(¼)−2=4, fyy=2¼ D=8>0 e fxx>0 → mínimos relativos.

Passo 5

Concluímos que os únicos extremos relativos (mínimos) da função são nos pontos (−½,1) e (½,1).

Resposta

Os extremos relativos são mínimos em (-tfrac12,1) e (tfrac12,1).

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