Calcular o comprimento do arco polar inteiro de:
r=-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento do arco polar inteiro da função  r = -6 . Isso está relacionado com a matéria de Cálculo, especificamente com Comprimento de Arcos em Coordenadas Polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas polares e entender como aplicar isso nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco em coordenadas polares. A fórmula é:
L = integrala^b raizr(theta)^2 + (drdtheta)^2 , dtheta
Aqui,  r(theta)  é a função que descreve a curva em coordenadas polares, e  a  e  b  são os limites do ângulo  theta  que queremos considerar.

Passo 3

No nosso caso, a função é  r = -6 . Isso significa que  r  é constante e igual a -6 para qualquer valor de  theta . Como  r  é constante, a derivada de  r  em relação a  theta  é zero:
drdtheta = 0

Passo 4

Agora, substituímos  r  e  drdtheta  na fórmula do comprimento do arco:
L = integrala^b raiz(-6)^2 + (0)^2 , dtheta = integrala^b raiz36 , dtheta = integrala^b 6 , dtheta

Passo 5

Simplificando a integral, temos:
L = 6 integrala^b dtheta = 6 (b - a)
Isso significa que o comprimento do arco depende da diferença entre os limites de  theta .

Passo 6

Como queremos o arco polar inteiro, precisamos considerar todos os ângulos de  0  a  2pi . Assim,  a = 0  e  b = 2pi :
L = 6 (2pi - 0) = 12pi

Resposta

O comprimento do arco polar inteiro de  r = -6  é  12pi .

Exercícios relacionados