Uma capivara anda à margem de um rio, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da capivara é diretamente proporcional à sua distância ao rio.
Suponha (num modelo no plano
) que o rio se encontra sobre o eixo
e que a capivara quer ir do ponto
ao ponto
.
Suponha que a capivara leva 804 segundos para ir em linha reta de
até
. Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem
e que passa por
e
, ela levará
segundos para algum inteiro
. Qual o valor de
?
Suponha (num modelo no plano
Suponha que a capivara leva 804 segundos para ir em linha reta de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma capivara que quer ir do ponto A=(-20, 20√3) pro ponto B=(20, 20√3) na margem de um rio. A velocidade dela depende da distância dela ao rio, ou seja, mais perto do rio, mais devagar ela vai. Primeiro, vamos entender que isso envolve conceitos de velocidade proporcional à posição e trajetórias circulares. Precisamos descobrir um número inteiro N tal que o tempo que a capivara leva andando pelo arco de circunferência seja N · √3 · ln(3) segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caminho reto de A até B. A distância entre A e B é só a diferença nas coordenadas x, já que ambas têm o mesmo y. Então, a distância é 40 unidades (de -20 a 20). A velocidade da capivara nesse caminho é proporcional à distância ao rio, que é 20√3. Podemos chamar a velocidade de v = k · 20√3, onde k é a constante de proporcionalidade. O tempo para percorrer o caminho reto é distância dividida pela velocidade: t = 40 / (k · 20√3) = 2 / (k√3). Sabemos que esse tempo é 804 segundos, então 2 / (k√3) = 804. Daí, k = 2 / (804√3).
Passo 3
Agora, vamos considerar o caminho circular. A circunferência tem centro na origem (0,0) e passa por A e B. Calculando o raio: r = √((-20)^2 + (20√3)^2) = √(400 + 1200) = √1600 = 40. A capivara vai percorrer um arco que conecta A e B. Vamos descobrir o ângulo desse arco. Os pontos A e B estão a 120° e 60° em relação ao eixo x, respectivamente. A diferença de ângulo é 60°, ou π/3 radianos.
Passo 4
Para calcular o tempo no arco, precisamos integrar o inverso da velocidade ao longo do caminho. No circulo, a coordenada y em qualquer ponto é y = 40 sinθ. Então, a velocidade v = k y = k · 40 sinθ. O elemento de arco é dl = r dθ = 40 dθ. O tempo é então a integral de dl / v, ou seja:
t = ∫(40 dθ) / (k · 40 sinθ) = ∫ dθ / (k sinθ)
Passo 5
A integral de 1/sinθ é cscθ, e sabemos que ∫cscθ dθ = ln|tan(θ/2)| + C. Então, integrando de θ = π/3 a θ = 2π/3:
t = (1/k) [ln(tan(2π/6)) - ln(tan(π/6))] = (1/k) [ln(tan(π/3)) - ln(tan(π/6))]
Sabendo que tan(π/3) = √3 e tan(π/6) = 1/√3, temos:
t = (1/k) [ln(√3) - ln(1/√3)] = (1/k) [ln(3)]
Passo 6
Agora, substituímos o valor de k que encontramos no Passo 2:
k = 2 / (804√3)
Então:
t = (1 / (2 / (804√3))) ln(3) = (804√3 / 2) ln(3) = 402√3 ln(3)
O problema pede que t = N · √3 · ln(3), então comparando:
402√3 ln(3) = N · √3 · ln(3) => N = 402
Resposta
O valor de N é 402.