Calcular o comprimento do arco polar inteiro de:
r=24 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco total da curva polar
r = 24sintheta
ou seja, quanto mede a curva completa quando theta varia de modo a traçar toda a figura.

Passo 2

Em coordenadas polares, se r=r(theta), o comprimento do arco de theta=alpha até theta=beta é dado por
L = integralalpha^beta raizr(theta)^2 + l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 3

Para r(theta)=24sintheta temos
drdtheta = 24costheta
Então o integrando fica
raizr^2 + l(drdthetar)^2 = raiz(24sintheta)^2 + (24costheta)^2 = raiz576(sin^2theta + cos^2theta) = 24

Passo 4

Para traçar toda a curva com r>=0 usamos sintheta>=0, isto é thetain[0,pi]. Logo
L = integral0^pi 24,dtheta

Passo 5

Basta integrar:
L = 24 l[thetar]0^pi = 24,pi

Resposta

O comprimento do arco é 24pi.

Exercícios relacionados