Calcular o comprimento do arco polar inteiro de:
r=-12 \operatorname{sen} \theta
r=-12 \operatorname{sen} \theta
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento de todo o arco de uma curva polar dada por
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Geometria Analítica em Coordenadas Polares. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender um pouquinho sobre derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de um arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento do arco,
é a função que descreve a curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Nosso primeiro passo é identificar os limites de integração, ou seja, os valores de
que vão traçar todo o arco da curva. Como a equação é
, sabemos que o seno tem período de
. Isso significa que para
variando de
a
, vamos traçar toda a curva.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Temos:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do comprimento do arco, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, a integral fica muito mais simples:
Integrando, temos:
Resposta
O comprimento do arco polar inteiro de
é
unidades.