Calcular o comprimento do arco polar inteiro de:
r=-12 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento de todo o arco de uma curva polar dada por r = -12 sin theta . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Geometria Analítica em Coordenadas Polares. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender um pouquinho sobre derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de um arco em coordenadas polares. A fórmula é:
L = integrala^b raiz ( r(theta) )^2 + ( drdtheta )^2 , dtheta
Aqui, L é o comprimento do arco, r(theta) é a função que descreve a curva, e drdtheta é a derivada de r em relação a theta .

Passo 3

Nosso primeiro passo é identificar os limites de integração, ou seja, os valores de theta que vão traçar todo o arco da curva. Como a equação é r = -12 sin theta , sabemos que o seno tem período de 2pi . Isso significa que para theta variando de 0 a 2pi , vamos traçar toda a curva.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de r em relação a theta . Temos:
drdtheta = ddtheta (-12 sin theta) = -12 cos theta

Passo 5

Substituindo r(theta) e drdtheta na fórmula do comprimento do arco, temos:
L = integral0^2pi raiz (-12 sin theta)^2 + (-12 cos theta)^2 , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(-12 sin theta)^2 = 144 sin^2 theta
(-12 cos theta)^2 = 144 cos^2 theta
Então,
raiz144 sin^2 theta + 144 cos^2 theta = raiz144 (sin^2 theta + cos^2 theta)
Sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1 , então:
raiz144 cdot 1 = raiz144 = 12

Passo 7

Agora, a integral fica muito mais simples:
L = integral0^2pi 12 , dtheta = 12 integral0^2pi dtheta
Integrando, temos:
12 [theta]0^2pi = 12 (2pi - 0) = 24pi

Resposta

O comprimento do arco polar inteiro de r = -12 sin theta é 24pi unidades.

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