Questão 1. Faça o esboço das seguintes funções e determine seus domínios e suas imagens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer o esboço da função
e determinar o domínio e a imagem dela. Então, vamos precisar entender como esboçar uma parábola, já que essa função é do segundo grau, e também identificar quais são os valores que
pode assumir (domínio) e quais são os possíveis valores de
(imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como essa é uma função polinomial (uma parábola), não temos restrições para
; ele pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores de
que a função pode assumir. Para isso, precisamos analisar o comportamento da parábola.
A função
é uma parábola que abre para cima, porque o coeficiente de
é positivo. Isso significa que ela terá um ponto mínimo.
Passo 4
Para encontrar o ponto mínimo da parábola, vamos calcular o vértice. A fórmula para encontrar a coordenada
do vértice é:
Onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a coordenada
do vértice substituindo
na função original:
Calculando passo a passo:
Então, o vértice é
.
Passo 6
Com o vértice encontrado, sabemos que o menor valor de
é
e que a parábola cresce para ambos os lados a partir desse ponto. Portanto, a imagem da função é todos os valores de
maiores ou iguais a
.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, vamos plotar o vértice
e alguns pontos adicionais. Por exemplo, podemos calcular
para
:
Então, temos o ponto
. Fazendo isso para alguns outros valores de
, conseguimos desenhar a forma da parábola.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais
. A imagem da função é
. O esboço da função é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto
.