Questão 1. Faça o esboço das seguintes funções e determine seus domínios e suas imagens:
y=x^2+3 x-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer o esboço da função y = x^2 + 3x - 4 e determinar o domínio e a imagem dela. Então, vamos precisar entender como esboçar uma parábola, já que essa função é do segundo grau, e também identificar quais são os valores que x pode assumir (domínio) e quais são os possíveis valores de y (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Como essa é uma função polinomial (uma parábola), não temos restrições para x ; ele pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores de y que a função pode assumir. Para isso, precisamos analisar o comportamento da parábola.
A função y = x^2 + 3x - 4 é uma parábola que abre para cima, porque o coeficiente de x^2 é positivo. Isso significa que ela terá um ponto mínimo.

Passo 4

Para encontrar o ponto mínimo da parábola, vamos calcular o vértice. A fórmula para encontrar a coordenada x do vértice é:
xv = -b2a
Onde:
  • a = 1 (coeficiente de x^2 )
  • b = 3 (coeficiente de x )
Substituindo na fórmula:
xv = -32 times 1 = -32

Passo 5

Agora, vamos encontrar a coordenada y do vértice substituindo xv na função original:
yv = (-32)^2 + 3 (-32) - 4
Calculando passo a passo:
(-32)^2 = 94
3 times (-32) = -92
yv = 94 - 92 - 4 = 94 - 184 - 164 = -254
Então, o vértice é (-32, -254) .

Passo 6

Com o vértice encontrado, sabemos que o menor valor de y é -254 e que a parábola cresce para ambos os lados a partir desse ponto. Portanto, a imagem da função é todos os valores de y maiores ou iguais a -254 .

Passo 7

Para esboçar o gráfico, vamos plotar o vértice (-32, -254) e alguns pontos adicionais. Por exemplo, podemos calcular y para x = 0 :
y = 0^2 + 3(0) - 4 = -4
Então, temos o ponto (0, -4) . Fazendo isso para alguns outros valores de x , conseguimos desenhar a forma da parábola.

Resposta

O domínio da função y = x^2 + 3x - 4 é todos os números reais R . A imagem da função é y >= -254 . O esboço da função é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto (-32, -254) .

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