1. Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r_{1}
r_{1}: \frac{x-3}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{2}
e a reta r_{2}
r_{2}=\left\{\begin{array}{c} x=1+t \\\ y=3+t \\\ z=-5+t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Isso é parte de geometria analítica espacial e vamos usar produto escalar entre vetores diretores. Primeiro extraímos os vetores diretores de cada reta e depois aplicamos a fórmula
\cos\theta = \frac{|\mathbf v_1\cdot \mathbf v_2|}{\|\mathbf v_1\|\;\|\mathbf v_2\|}.

Passo 2

Para a reta r_{1} no formato
\frac{x-3}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{2},
o vetor diretor é
\mathbf v_{1} = (4,\;1,\;2).

Passo 3

Para a reta r_{2} dada por
\begin{cases} x=1+t,\\\ y=3+t,\\\ z=-5+t, \end{cases}
o vetor diretor é
\mathbf v_{2} = (1,\;1,\;1).

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf v_{1}\cdot \mathbf v_{2} = 4\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot1 = 7,
\|\mathbf v_{1}\| = \sqrt{4^{2}+1^{2}+2^{2}} = \sqrt{21}, \quad \|\mathbf v_{2}\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{|\mathbf v_{1}\cdot \mathbf v_{2}|}{\|\mathbf v_{1}\|\;\|\mathbf v_{2}\|} = \frac{7}{\sqrt{21}\,\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{63}} = \frac{\sqrt{7}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}

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