Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r_{1} r_{1}: \frac{x-3}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{2} e a reta r_{2} r_{2}=\left\{\begin{array}{c} x=1+t \\\ y=3+t \\\ z=-5+t \end{array}\right. Passo 1O enunciado pede o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Isso é parte de geometria analítica espacial e vamos usar produto escalar entre vetores diretores. Primeiro extraímos os vetores diretores de cada reta e depois aplicamos a fórmula \cos\theta = \frac{|\mathbf v_1\cdot \mathbf v_2|}{\|\mathbf v_1\|\;\|\mathbf v_2\|}. Passo 2Para a reta r_{1} no formato \frac{x-3}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{2}, o vetor diretor é \mathbf v_{1} = (4,\;1,\;2). Passo 3Para a reta r_{2} dada por \begin{cases} x=1+t,\\\ y=3+t,\\\ z=-5+t, \end{cases} o vetor diretor é \mathbf v_{2} = (1,\;1,\;1). Passo 4Calculamos o produto escalar e as normas: \mathbf v_{1}\cdot \mathbf v_{2} = 4\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot1 = 7, \|\mathbf v_{1}\| = \sqrt{4^{2}+1^{2}+2^{2}} = \sqrt{21}, \quad \|\mathbf v_{2}\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{3}. Passo 5Substituindo na fórmula do cosseno: \cos\theta = \frac{|\mathbf v_{1}\cdot \mathbf v_{2}|}{\|\mathbf v_{1}\|\;\|\mathbf v_{2}\|} = \frac{7}{\sqrt{21}\,\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{63}} = \frac{\sqrt{7}}{3}. Resposta \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Exercício 5. (1.9 Pontos) Encontre uma equação geral do plano que passa pelo ponto P=(2,-12,0) e é paralelo a reta r: X=(0,3,4)+\lambda(7,-1,2). Descreva, adicionalmente, um vetor normal a este plano. Exercício 3. (1.7 Pontos) Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrangular, onde A B C D é o seu quadrilátero da base A=(1,3,5), B=(2,1,1), C=(3,3,6), D=\left(\frac{1}{2}, 4,7\right) e P=(1,1,7) seu vértice. Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r_{1} r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=3 \\\ y=4 \\\ z=2+t \end{array}\right. e a reta r_{2} r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x=1+t \\\ y=3+t \\\ z=-5+t \end{array}\right. Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r_{1} r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=3+t \\\ y=4 \\\ z=2 \end{array}\right. e a reta r_{2} r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x=1+t \\\ y=3+2 t \\\ z=-5+t \end{array}\right.