1. Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r_{1}
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=3 \\\ y=4 \\\ z=2+t \end{array}\right.
e a reta r_{2}
r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x=1+t \\\ y=3+t \\\ z=-5+t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 e pede o cosseno do ângulo entre elas. O conteúdo necessário é produto escalar e norma de vetores, pois o ângulo entre retas é o mesmo ângulo entre seus vetores diretores.

Passo 2

Para r_1 temos
x=3,\quad y=4,\quad z=2+t,
logo o vetor diretor é
\mathbf{v}_1 = (0,0,1).
Para r_2 temos
x=1+t,\quad y=3+t,\quad z=-5+t,
logo o vetor diretor é
\mathbf{v}_2 = (1,1,1).

Passo 3

A fórmula do cosseno do ângulo \theta entre duas retas é a mesma do cosseno do ângulo entre seus vetores diretores:
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_1\| \,\|\mathbf{v}_2\|}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1,
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1,
\|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo na fórmula,
\cos(\theta) = \frac{1}{1\cdot\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}

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