Exercício 5. (1.9 Pontos)

Encontre uma equação geral do plano que passa pelo ponto P=(2,-12,0) e é paralelo a reta r: X=(0,3,4)+\lambda(7,-1,2). Descreva, adicionalmente, um vetor normal a este plano.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano que passa por P=(2,-12,0) e contém (ou seja, é paralelo a) a reta
r: X = (0,3,4) + \lambda\,(7,-1,2).
Para escrever a equação geral de um plano usamos a forma
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano e (x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer do plano. Se soubermos dois vetores diretores do plano, digamos u e v, então
n = u \times v
é um vetor normal ao plano.

Passo 2

Identificamos um vetor diretor da reta r:
v = (7,-1,2).
Para obter um segundo vetor diretor do plano, notamos que o plano contém a reta, logo contém também o ponto-base da reta
A = (0,3,4).
Então podemos usar o vetor
\overrightarrow{AP} = P - A = (2 - 0,\,-12 - 3,\;0 - 4) = (2,\,-15,\,-4).

Passo 3

O vetor normal ao plano é o produto vetorial de v e \overrightarrow{AP}:
n = v \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 7 & -1 & 2 \\[3pt] 2 & -15 & -4 \end{vmatrix} = (34,\,32,\,-103).]

Passo 4

Usando o ponto P=(2,-12,0) e o normal n=(34,32,-103) na forma
34\,(x-2) + 32\,(y+12) - 103\,(z-0) = 0,
expandimos:
34x - 68 + 32y + 384 - 103z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 34x + 32y - 103z + 316 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
\boxed{34x + 32y - 103z + 316 = 0},
e um vetor normal a esse plano é
\boxed{(34,\,32,\,-103)}.

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