Encontre uma equação geral do plano que passa pelo ponto P=(2,-12,0) e é paralelo a reta r: X=(0,3,4)+\lambda(7,-1,2). Descreva, adicionalmente, um vetor normal a este plano.
Passo 1
O enunciado pede a equação geral de um plano que passa por P=(2,-12,0) e contém (ou seja, é paralelo a) a reta
r: X = (0,3,4) + \lambda\,(7,-1,2).
Para escrever a equação geral de um plano usamos a forma
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano e (x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer do plano. Se soubermos dois vetores diretores do plano, digamos u e v, então
n = u \times v
é um vetor normal ao plano.
Passo 2
Identificamos um vetor diretor da reta r:
v = (7,-1,2).
Para obter um segundo vetor diretor do plano, notamos que o plano contém a reta, logo contém também o ponto-base da reta
A = (0,3,4).
Então podemos usar o vetor
\overrightarrow{AP} = P - A = (2 - 0,\,-12 - 3,\;0 - 4) = (2,\,-15,\,-4).
Passo 3
O vetor normal ao plano é o produto vetorial de v e \overrightarrow{AP}: