1. Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r_{1}
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=3+t \\\ y=4 \\\ z=2 \end{array}\right.
e a reta r_{2}
r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x=1+t \\\ y=3+2 t \\\ z=-5+t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica e pede o cosseno do ângulo entre elas. O conteúdo é geometria analítica espacial: para calcular o ângulo entre duas retas, basta usar os vetores diretores e a fórmula do cosseno entre vetores.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores das retas:
a reta r_{1} tem vetor diretor \mathbf{v}_{1} = (1,0,0),
a reta r_{2} tem vetor diretor \mathbf{v}_{2} = (1,2,1).

Passo 3

A fórmula do cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} é
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}\bigr|}{\|\mathbf{v}_{1}\|\;\|\mathbf{v}_{2}\|}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2} = 1\cdot1 + 0\cdot2 + 0\cdot1 = 1,
\|\mathbf{v}_{1}\| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1, \quad \|\mathbf{v}_{2}\| = \sqrt{1^2+2^2+1^2} = \sqrt{6}.
Substituindo na fórmula,
\cos\theta = \frac{1}{1\cdot\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}

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