Utilizando os seus conhecimentos sobre Autovalores e Autovetores, faça o que se pede:
Determine os autovalores e os autovetores do operador T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x, x+2 y,-3 x+5 y+2 z).

Passo 1

O operador T é linear e, na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, sua matriz é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ -3 & 5 & 2 \end{pmatrix}
Queremos encontrar os autovalores \lambda satisfazendo \det(A - \lambda I)=0 e, para cada \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores v.

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 1 & 2-\lambda & 0\\\\ -3 & 5 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, temos
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\\ 5 & 2-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando a menor de ordem 2,
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\\ 5 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)^2.
Logo o polinômio característico é
(1-\lambda)(2-\lambda)^2=0
e os autovalores são \lambda_{1}=1 (multiplicidade 1) e \lambda_{2}=2 (multiplicidade 2).

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha x+y=0, logo x=-y. Da terceira linha -3x+5y+z=0 8y+z=0, logo z=-8y. Tomando y=1, um autovetor é
v_{1}=(-1,\,1,\,-8).

Passo 5

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ -3 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha x=0. Da terceira linha 5y=0 y=0. O parâmetro livre é z. Tomando z=1, um autovetor é
v_{2}=(0,\,0,\,1).

Resposta

Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=2.
Um autovetor associado a \lambda=1 é (-1,\,1,\,-8).
Um autovetor associado a \lambda=2 é (0,\,0,\,1).

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